在深入探讨数列极限的奥秘时，我们已经触及了无穷小与无穷大的核心概念，并揭示了它们的代数特性。然而，如何准确处理它们的乘积，尤其是在引入函数极限后，这个问题的轮廓更加清晰。函数极限不仅关注自变量的极限行为，还为我们理解无穷小的阶数提供了强大的工具。

让我们聚焦于那些没有零点的无穷小。当我们观察如下的表达式：当 \( x \to 0 \)，\( \frac{1}{x} \) 和 \( \frac{1}{x^2} \) 都是趋近于零的无穷小，但它们的乘积却揭示了无穷小阶数的微妙差异：

在某些情况下，两个无穷小的乘积可能会产生无穷大，非零有界量，甚至是另一个无穷小。这凸显了无穷小阶数计算的复杂性。

无穷小的阶数被定义如下：无穷小 \( f(x) \) 称为 \( g(x) \) 的高阶无穷小，当 \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，\( g(x) \neq 0 \)；同阶无穷小意味着它们的比值在极限下趋于常数；而等价无穷小则在极限下与 \( g(x) \) 相当，即 \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \)。

值得注意的是，无穷小阶数的比较遵循传递性，即如果 \( f(x) \) 是 \( g(x) \) 的高阶无穷小，而 \( g(x) \) 又是 \( h(x) \) 的高阶无穷小，那么 \( f(x) \) 自然也是 \( h(x) \) 的高阶无穷小。同时，同阶关系和等价关系为我们理解无穷小提供了重要的等价关系框架。

然而，这并不意味着无穷小的阶数构成了一个严格的等级结构。例如，两个无穷小 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的商可能不收敛，甚至不为无穷大，即使 \( f(x) \) 不是 \( g(x) \) 的高阶或低阶无穷小，它们也可能不具有明确的阶数关系。

以函数 \( f(x) = x \ln(x) \) 和 \( g(x) = x \) 为例，当 \( x \to 0 \)，尽管 \( g(x) \) 是 \( f(x) \) 的高阶无穷小，但当 \( x \to 0^+ \) 时，\( \frac{f(x)}{g(x)} \) 发散。这就展现了无穷小阶数分析的局限性：并非所有无穷小都有明确的阶数。

尽管存在这样的复杂性，无穷小的阶数概念在解决许多极限问题中仍发挥着关键作用。然而，我们需要意识到它的适用边界，并结合具体情境灵活运用。