1、连接OD

∵AB=AC OB=OD

∴∠B=∠C ∠B=∠ODB

∴∠C =∠ODB

∴OD∥AC

∵DE⊥AC

∴DE⊥OD

∴DE是⊙O的切线。

2、∵AD是⊙O的直径

∴∠ACD =90°

∴∠DAC+∠D=90°

∵∠D=∠B

∠CAE=∠B

∴∠DAC+∠CAE=90°

即：∠DAE=90°

∴AE⊥OA

∴AE是⊙O的切线。

3、

（1）连接OD，

则∠HOD=2∠A，

已知∠HDE=2∠A，

则∠HOD=∠HDE，

∵HD⊥AB，

∴∠HOD+∠HDO=90°，

∴∠HDE+∠HDO=90°，

即OD⊥DE，

又OD是半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE是⊙O的切线，∠ABC=90°，

∴∠OBE=∠ODE=90°，

又OB=OD，OE=OE，

∴Rt△BOE≌Rt△DOE，

∴∠BOE=∠DOE，

∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，

又∠HOD=2∠A，

∴∠BOE=∠A，

∴OE∥AD，

而O是AB的中点，

故OE是△ABC的中位线

4、证明：连接OD、OE、CD

∵BC是直径

∴∠BDC=90°

∵E是AC中点

∴ED=EC

∵OC=OD，OE=OE

∴△ODE≌△OCE

∴∠ODE=∠OCE=90°

∴OD⊥DE

∴DE是圆O的切线.