有好几种方法，我只给你用反证法与戴德金分割来证明。

先说有理数的加减法：设p1,p2属于Z，q1,q2属于N/{0}，则(p1/q1)+(p2/q2)=(p1q2+p2q1)/q1q2，显然结果是个有理数，同理，有理数减有理数，有理数×有理数，有理数÷有理数，所得结果还是有理数；

再说有理数+无理数。设p属于Z，q属于N/{0}，k为无理数，假设p/q+k=m/n(有理数)，则k=m/n-p/q(有理数)，与k为无理数矛盾，所以有理数与无理数之和还是无理数，有理数与无理数之差还是无理数，有理数（不等于0）与无理数的积与商还是无理数

还有个方法是用戴德金分割来证明：

设A|B为有理分割，确定一有理数a，且a在A中；C|D为有理分割，确定一无理数c。那么A中的元素x，C中的元素y，构成一个新的集合：F={x+y|x属于A且y属于C}，同理又可以构建另外一个集合：G={u+v|u属于B且v属于D},那么F|G确定的数为a+c，尽管A中有最大数a，但C中无最大数，因为x取得最大值y取得最大值时x+y才能取得最大值（x与y为互不影响的两个变量），所以x+y取不到最大值即F中无最大数，同理，G中也无最大数，因此有理分割F|G确定一无理数a+c(a为无理数，c为无理数），即a+c为无理数即有理数与无理数之和为无理数，同理，有理数与无理数之差也为无理数。至于用戴德金分割证明有理数（不等于0）与无理数之积为无理数用同样的方法（若x与y为负数，取其绝对值，用其正绝对值构建新集合，并且在正有理数间进行分割）