五次方程为什么没有求根公式相关内容如下：

首先，这里所说的五次方程指的是一般的一元五次方程，即形如ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0的方程，为什么不是根式可解的。

首先来说一下什么是根式可解。如果方程xn+a1xn−1+a2xn−2+⋯+an−1x+an=0的根可以通过其系数经过有限次的加、减、乘、除及开整数次方运算表示出来，则称该方程是根式可解的。

1、一元一次方程：

形如ax+b=0的方程，这个太容易了，它的根是x=−ba，我们甚至都不把它算作求根公式。

2、 一元二次方程：

形如ax2+bx+c=0的方程，它的求根公式我们也非常熟悉。但是这里，我们换一种求解方式。

根据代数学基本定理，我们知道一元二次方程有两个根。设其为x1,x2

将原方程两边同时除以a，得到x2+bax+ca=0。那么一定有如下的等式成立，

(x−x1)(x−x2)=x2+bax+ca=0；

这样就得到了如下的根与系数的关系，也就是我们熟悉的韦达定理，

x1+x2=−ba,x1x2=ca；

然后我们再构造出x1−x2就可以联立x1+x2解出两根了

(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=b2a2−4ca

⇒x1−x2=±b2−4aca；

从而得到x1,x2=−b±b2−4ac2a。

3、 一元三次方程：

形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，这是一元三次方程的一般形式。还是两边同时除以a，把三次项的系数化为1。为了后面推导方便，将这个方程记为x3+ax2+bx+c=0，注意这里的a,b,c与一般形式方程中的a,b,c是不同的。

带入x=y−a3，

(y−a3)3+a(y−a3)2+b(y−a3)+c=0

⇒y3+(b−a23)y+2a327−ab3+c=0；

我们得到了一个关于y的不含二次项的三次方程。

同样为了简便，将其记为y3+py=q；

1650年，荷兰数学家赫德给出了如下解法，他巧妙地利用了和立方公式

和立方公式(m+n)3=m3+n3+3mn(m+n)；

将m+n看作y，3mn看作−p，m3+n3看作q，正好是上面方程的形式。

这样我们可以选取任意的两个数m,n，使得关于y的三次方程的根满足y=m+n，这样如果能解出m,n，就能求出方程的根。将y=m+n带入上面的方程

(m+n)3+p(m+n)=q

⇒m3+n3+3mn(m+n)+p(m+n)=q

⇒(p+3mn)(m+n)=q−(m3+n3)；

由于m和n是任意选取的，不妨令上式左右两边都等于0，

得到mn=−p3,m3+n3=q，

现在我们有了m3+n3，再构造出m3−n3就可以求出m3和n3了，跟解一元二次方程时构造x1−x2的方法是一样的：

(m3−n3)2=(m3+n3)2−4m3n3=q2+4p327，

于是m3=q2±q24+p327,n3=q2∓q24+p327，

因此y=m+n=q2+q24+p3273+q2−q24+p3273。

然而这才一个根，另外两个根丢在哪了呢？

实际上是在给m,n开三次方的时候丢掉了。

我们来考虑这个方程x3=1，根据代数学基本定理，它应该有3个根。

x3−1=0⇒(x−1)(x2+x+1)=0，

所以其中一个根是x=1，另外两个根是x=−1±3i，

一般记ω=−1+3i2，则ω2=−1−3i2，

所以方程x3=1的根应该是x=1,ω,ω2，

这样我们就能得出方程y3+py=q的三个根了，

分别是y1=m+n,y2=mω+nω2,y3=mω2+nω，

最后把m,n,ω通通代入，再把p,q替换成a,b,c的表达式，

我们就得到了形如x3+ax2+bx+c=0的三次方程的求根公式。

4、 一元四次方程：

为了方便，我们直接考虑形如x4+ax3+bx2+cx+d=0的四次方程。

代入x=y−a4，可以得到一个不含三次项的四次方程，

将其记为y4+py2+qy+r=0，

1637年，笛卡尔给出了如下方法，将这个四次方程拆成两个二次方程，

(y2+ky+l)(y2+my+n)=y4+py2+qy+r=0，

这样只要将k,l,m,n通过p,q,r表示出来，再解两个二次方程就可以得到四次方程的根。

将左边展开y4+(m+k)y3+(km+n+l)y2+(kn+lm)y+ln=0，

对比等式两边系数，可以得到如下4个等式，

m=−k

km+n+l=p⇒n+l=p+k2

kn+lm=q⇒n−l=qk

ln=r。

通过2、3两个等式可以得到2n=k2+p+qk,2l=k2+p−qk，

代入第4个等式，整理后可以得到

k6+2pk4+(p2−4r)k2−q2=0，

这是一个关于k2的三次方程，解出k2取其实数根，然后可以得到k,进而得到l,m,n，

最后解两个二次方程即可，每个方程两个根。