圆周运动的加速度公式可以通过向心加速度的概念推导得出。向心加速度是指物体在做圆周运动时由于改变方向而产生的加速度。

假设一个物体在半径为 r 的圆周上做匀速圆周运动，其线速度为 v（线速度即物体在圆周上单位时间内走过的弧长）。圆周运动的加速度 a 是一个向心加速度，它的方向指向圆心。

推导步骤如下：

1. 首先，回顾圆周运动的速度公式：

v = (2πr) / T

其中，T 是物体绕圆周运动一周所花费的时间，也称为周期。

2. 接着，我们知道向心加速度 a 可以定义为速度 v 平方与圆周半径 r 的比值，再乘以负号（因为 a 的方向指向圆心）：

a = - v^2 / r

3. 现在将 v 的值代入 a 的公式中：

a = - ((2πr) / T)^2 / r

4. 对公式进行简化和化简，得到最终的向心加速度公式：

a = - (4π^2r) / T^2

这就是圆周运动的加速度公式。它表明圆周运动的加速度与圆周半径 r 和周期 T 的平方成反比，与圆周半径的大小和周期的平方成正比。同时，加速度的方向指向圆心，即向心加速度。在圆周运动中，加速度的大小是恒定的，而方向随着物体在圆周上不断改变。