(1)、可知，点A为(1,4)，A为抛物线的顶点，所以可以设抛物线为y=k(x-1)^2+4

抛物线过C点，将C点带入上式，得：0=k(3-1)^2+4解得k=-1

所以抛物线的解析式为：y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3

(2)、若要△ACG面积最大，底边AC是定长，也就是当G点到AC的距离最大时，有最大值。

直线AC的解析式为：y=(4-0)x/(1-3)+b=-2x+b

带入点C到上式，解得b=6

直线AC的解析式为：y=-2x+6 2x+y-6=0

设点G(m,n)，点P(1,4-t) (0<=t<=4)

△APE与△ABC相似，所以有AP/AB=PE/BC

AP=t，AB=4，BC=2，所以PE=t/2

所以m=1+PE=1+t/2

带入m到抛物线解析式

得：n=-(1+t/2-1)^2+4=-t^2/4+4

点G到AC的距离为：|2m+n-6|/√(2^2+1^2)=|-(t-2)^2+4|/4√5

当t=2时，有最大值，为：√5/5

最大面积为：(√5/5)*[√(4^2+2^2)]/2=1

(3)、菱形是四条边相等，也就是有CQ=EQ=EH=CH=t

EH∥CQ，所以H在直线EF上，点E的横坐标与G的横坐标相同，纵坐标与点P的纵坐标相同，所以E(1+t/2,4-t)，点Q的坐标为(3,t)

EQ=√[(1+t/2-3)^2+(4-t-t)^2]=t

解方程得：t=20/13 或t=4

当t=4时，点Q与D重合，点E在x轴上，直线EQ斜率大于0，则CH斜率也大于0，H点一定不在长方形内，舍去。同理，t=20/13时，H在长方形内，所以t=20/13时四边形CQEH为菱形。

(其实一旦CQ大于2，即CD一半，H一定在长方形外了)