利用已知函数展开式，进行幂级数运算包括四则运算、逐项求导与逐项积分以及变量代换等方法，将给定函数表达为幂级数形式。这种方法简化计算过程，并避免了研究余项的复杂性。

具体公式如下：

1. 代数函数展开：例如，任意多项式函数均可直接通过其系数表达为幂级数。

2. 三角函数展开：正弦、余弦、正切、余切等函数可通过泰勒级数展开。

3. 指数函数展开：自然对数底e的幂级数展开为：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

4. 幂函数展开：xⁿ的幂级数展开为：xⁿ = xⁿ。

5. 对数函数展开：自然对数底e的对数函数ln(x)的幂级数展开为：ln(x) = (x - 1) - (x - 1)²/2 + (x - 1)³/3 - ...

6. 双曲函数展开：双曲正弦函数sinh(x)的幂级数展开为：sinh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + ...

7. 反双曲函数展开：双曲余切函数coth(x)的幂级数展开为：coth(x) = 1/x + (1/3)x - (1/5)x³ + ...

这些推广形式使得函数可以以幂级数的形式表示，方便数学分析与计算。