1. B^TB 是实对称矩阵, 所以 B 是实对称矩阵, 必定可对角化

2. B=B^TB=B^2, 所以 B 的特征值只能是 0 或者 1

3. 由 rank(B)=r 及 B 可对角化得 B 的特征值是 r 个 1 和 n-r 个 0

4. 由 rank(B)=r 得 B 至少有 r 个非零元素

5. 注意 trace(B)=r, 同时 r=trace(B^TB) 是 B 的所有元素的平方和, 所以 B 的非零元素恰有 r 个, 每个都是 1 或者 -1

6. B 的 r 个非零元必须都是对角元, 且都是 1, 否则 trace(B)<r

7. 取一个排列阵把 B 的对角元都排到最开头即可