矩阵等价的定义是，若两个方阵A和B满足[公式]的条件，即存在可逆矩阵P和Q，使得[公式]，则称A和B等价。等价关系的判定并不需要充要条件，但可以通过传递性来检验两个矩阵是否相似于同一个对角矩阵。

矩阵相似的性质则不同，尽管没有明确的充要条件，但一个必要的条件是两个矩阵的特征值必须相同。这意味着如果A和B的特征值相等，它们可能相似，但特征值相同并不保证相似性。

对于实对称矩阵，合同关系有特定的充要条件，即如果两个实对称矩阵的正负惯性指数相等，那么它们是合同的。这意味着对称矩阵之间，如果惯性指数一致，就必定合同；而非对称矩阵间的合同关系则更为复杂，必须同时满足上述条件。

在相似与等价的关系中，[公式]表明，相似可以推导出等价，但等价并不一定意味着相似。同样，[公式]说明，合同可以推导出等价，但等价并不必然导致合同。

对于实对称矩阵，如果两个矩阵相似，那么它们不仅秩相同，而且特征值相等，从而合同。然而，如果两个矩阵合同，仅仅说明秩相等且惯性指数相同，特征值不必然一致，因此不能直接推断它们相似。

总结来说，等价的决定因素是秩，合同则在秩和惯性指数上都需一致，而相似则在此基础上，额外要求特征值的相等性。