正定二次型的判定方法如下：

1、特征值法：对于二次型矩阵A，若其所有特征值都是正的，即A的所有特征值大于零，则该二次型为正定二次型。这是因为对于任意的非零向量x，如果存在一个特征值对应的特征向量是x，那么这个特征值与x的内积就会大于零。

2、顺序主子式法：对于二次型的矩阵A，如果其顺序主子式（即主对角线上的子式）均为正，那么该二次型为正定二次型。这是因为对于任意的非零向量x，如果存在一个顺序主子式对应的特征向量是x，那么这个顺序主子式与x的内积就会大于零。

3、范德蒙行列式法：对于二次型的矩阵A，如果其范德蒙行列式（即A的所有顺序主子式的乘积）大于零，那么该二次型为正定二次型。这是因为范德蒙行列式大于零意味着A的所有顺序主子式都是正的，也就是说A的所有特征值都是正的。

4、正惯性指数法：对于二次型的矩阵A，如果其正惯性指数等于其维数n（即p=n），那么该二次型为正定二次型。这是因为对于任意的非零向量x，如果存在一个正惯性指数对应的特征向量是x，那么这个正惯性指数与x的内积就会大于零。

正定二次型的应用领域：

1、机器学习：在机器学习中，许多算法都需要使用到正定二次型。例如，在最小二乘法中，我们通常会使用到正定二次型的特性来求解线性回归模型的最优解。此外，在支持向量机（SVM）和神经网络等算法中，也经常需要使用到正定二次型。

2、统计学：在统计学中，正定二次型也被广泛使用。例如，在多元统计分析中，我们通常会使用到协方差矩阵，而协方差矩阵就是一个正定二次型。此外，在最大似然估计等统计推断中，也常常需要使用到正定二次型。

3、优化理论：在优化理论中，许多问题最终都可以转化为一个二次规划问题。而二次规划问题通常涉及到正定二次型。因此，通过使用正定二次型，我们可以更有效地解决一些优化问题。

4、物理和工程领域：在物理和工程领域中，正定二次型也有广泛的应用。例如，在结构力学和振动分析中，我们通常会使用到正定二次型来描述物体的运动状态。此外，在信号处理和图像处理中，也常常需要使用到正定二次型。