（1）二元一次方程组及代入法

　　一、本讲教学内容及要求

　　了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念。

　　会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。

　　灵活运用代入法解二元一次方程组。

　　了解代入法解二元一次方程组的思想方法。

　　二、本讲的重点、难点和关键：

　　1．重点：一次方程组的解法——代入法和加减法。

　　2．难点：选用合理、简捷的方法解二元一次方程组。

　　3．关键：了解“消元法”的思想方法，设法消去方程中的一个未知数将“二元”转化成“一元”。

　　灵活地运用“代入法”和“加减法”。

　　三、本讲重要数学思想：

　　1．通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程转化（化归）的思想。

　　2．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想。

　　四、主要数学能力：

　　1．通过用代入消元法解二元一次方程组及加减消元法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。

　　2．通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析，明确二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和发展逻辑思维能力。

　　五、化归思想：

　　“解题就是把习题归结为已经解过的问题”这种关于解题的数学思想称为“化归”。它体现了“在一定条件下，不同事物可以互相转化。”的唯物辩证观点，是解数学题的一盏指路明灯。

　　本章中“化归”思想的突出运用有：

　　1．化陌生为熟悉。“化二元为一元”，化“三元为二元”。即将陌生的二元一次方程组化为熟悉的一元一次方程来解。这种将陌生的问题化为熟悉的问题来处理，这是数学解题中具有普遍指导意义的数学思想。应该深入地领会并自觉地运用到数学的学习中。

　　2．化复杂为简单。解方程组时，形式复杂的二元一次方程组往往难以直接消元或不便于直接消元时，一般要把它先化为形式简单的方程组然后再消元求解。

　　3．化实际问题为数学问题。利用一次方程组的知识求解有关的应用题时，分析方法与解题步骤与列出一元一次方程解应用题类似。通过认真分析题目中的未知量和已知量之间的关系，找出它们相等关系据此列出方程组。将应用问题“化为”解方程组的问题来解决。把实际问题化为数学问题来处理，这是利用数学知识解实际问题的基本途径。

　　六、易错分析：

　　1.判断一个方程是不是二元一次方程，一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。

　　2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解，而每一个解都是一对数值。求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知数为x，y，可任取x的一些值，相应的可算出y的值，这样，就会得到满足需要的数对。

　　3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。作为二元一次方程组的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。

　　4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，那么它就是方程组的解。

　　5．运用代入法解方程组应注意的事项：

　　（1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。

　　（2）运用代入法要使解方程组过程简单化，即选取系数较小的方程变形。

　　（3）要判断求得的结果是否正确。

　　6．对二元一次方程组的解的理解：

　　（1）方程组的解是指方程组里各个方程的公共解。

　　（2）“公共解”的意思，实际上包含以下两个方面的含义：

　　①因为任何一个二元一次方程都有无数个解，所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。

　　②而这个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程，因此二元一次方程组的解一定同时满足这个方程组里两个方程的任何一个方程。

　　例1、已知方程3xm+3-2y1-2n=15是一个二元一次方程，求m和n的值。

　　分析：二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是1。

　　解：由题意得：m+3=1,1-2n=1

　　∴ m=-2,n=0

　　例2、下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？

　　（1） （2） （3） （4） （5）

　　分析：由二元一次方程组的定义可知：①方程组中的每个方程必须都是一次方程；②方程组中的未知数共有两个；③方程组中的两个方程必须都为整式方程，方程组（1）中含有3个未知数；（2）中的xy=2是二元二次方程；

　　（5）中的 +y=6不是整式方程。

　　解：（3），（4）是二元一次方程组。

　　例3、方程组 的解为（ ）

　　（A） （B） （C） （D）以上答案均不对

　　分析：未知数x、y的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解。

　　解：把x=-2,y=2代入方程①，

　　左边=3×（-2）+4×2=2=右边，

　　再代入方程②，

　　左边=2×（-2）-2=-6，右边=5

　　∵ 左边≠右边。

　　∴ （A）满足方程①但不满足方程②，故不是原方程组的解。

　　同理可得，（B）满足方程①又满足方程②，所以是原方程组的解；而（C）满足方程②但不满足方程①，故不是方程组的解。

　　∴ 答案选择B。

　　例4．已知 是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值。

　　分析：由 是方程3x-ay-2a=3的一个解，可以理解为x, y的值适合方程 3x-ay-2a=3，也就是说方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取 时方程成立。这样就可以将x=-2，y= 代入方程中，转化为关于a的一元一次方程，可求出a值。

　　解：∵ x=-2, y= 是方程3x-ay-2a=3的一个解，

　　∴ 3(-2)-a( )-2a=3

　　∴ -6- -2a=3, ∴ - a=9, ∴ a=-

　　例5、解方程组

　　分析：用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程去变形，此例中②式y的系数为-1，所以用含x的代数式表示y，代入①中消去y。

　　解：由②得y=5x-3 ③

　　把③代入①得2x+3(5x-3)=-9,

　　17x=0, x=0

　　把x=0代入③得y=-3

　　∴

　　例6、解方程组

　　分析：由于两个方程中x的系数都是2，代入时可把方程②直接代入方程①，而不必写成x= 。

　　解：把②代入①，得3y+1-4y=3,

　　∴ y=-2

　　把y=-2代入②，得2x=3×(-2)+1,

　　∴ x=-2 ∴

　　说明：此题也可由①得2x=4y+3，代入②求解，由此题的解法可看出，解方程组时根据题目的具体特点采取灵活的方法会使问题简化。

　　例7、解方程组

　　分析：这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数。

　　解：整理原方程组，得

　　由④得，y=3x-4 (5)

　　把⑤代入③，得3x-2(3x-4)=2,

　　x=2

　　把x=2代入⑤，得y=3×2-4=2，

　　∴

　　练习：

　　填空题：

　　（1）已知方程2x2n-1-3y3m-n+1=0是二元一次方程，则m=__________,n=____________。

　　（2）方程①y=3x2-x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=1;⑤ +y=0;⑥x+y+z=1;⑦ +x=4中，是二元一次方程的有________________。

　　（3）二元一次方程 x- y=5有____________个解。

　　（4）用代入法解二元一次方程组

　　最为简单的方法是将________式中的_________表示为__________，再代入__________。

　　答案：

　　（1） ，1 （2）② ③ ⑤ （3）无穷多 （4）①，x , x=6-5y ,②

　　测试

　　选择题

　　1．方程5x-3y=6的解是（ ）。

　　A、只有一个 B、只有二个 C、有无数个 D、无解

　　2．方程x+2y-3=0中，x,y均为非负整数，那么x,y的值分别是（ ）。

　　A、3，0 B、1，2 C、1，1 D、1，1或3，0

　　3．方程3a+b=9，在正整数范围内的解的个数是（ ）。

　　A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

　　4．如果 是方程2x=3y+2k的一组解，那么k的值为（ ）。

　　A、4 B、2 C、 D、

　　5．对于方程3x-5=7y，用含x的代数式表示y，是（ ）。

　　A、3x=7y+5 B、y= C、7y=3x-5 D、

　　6．下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（ ）。

　　A、 B、 C、 D、

　　7．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）。

　　A、 B、 C、 D、

　　8．在四对数值中，是方程组 的解是（ ）。

　　A、 B、 C、 D、

　　9．如果 （其中b≠0）是方程5x+y=0的一个解，则（ ）。

　　A、a,b一定同号 B、a,b一定异号

　　C、a,b可能同号，也可能异号 D、b≠0,a=0

　　10．下列各方程组中，哪此是二元一次方程组（ ）。

　　① ② ③ ④

　　A、①②③ B、②③ C、③④ D、①②

　　答案与解析

　　答案：1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.B 10.C

　　中考解析

　　二元一次方程组

　　考点扫描:

　　1．了解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，

　　2．会检查一对数值是不是某个二元一次方程的一个解。

　　名师精讲:

　　1．二元一次方程:含有两个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元二次方程。它的标准形式为：ax+by=c（a,b≠0）。

　　2．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。一个二元一次方程有无数个解。一般地，给定方程中一个未知数的值，可求出相应的另一个未知数的值，那么，这一对数就是二元一次方程的解。

　　3．二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。它的一般形式是：

　　作为二元一次方程组中的两个方程，不一定都含有两个未知数，可以其中一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程。

　　4．二元一次方程组的解

　　两个二元一次方程的公共解叫做二元一次方程组的解。检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是，将两个未知数分别代入方程组中的两个方程，如果都能满足这两个方程，它就是方程组的解。

　　说明：本节是二元一次方程及二元一次方程组的有关概念，一般中考不单独命题。

　　用代入法解二元一次方程组

　　考点扫描:

　　1．掌握运用代入法解二元一次方程组的方法步骤。

　　2．了解代入法解二元一次方程组的基本思想。

　　名师精讲:

　　1．用代入法解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，这种方法，体现了数学的“化繁为简”的基本思想。

　　2．用代入法解二元一次方程组的步骤是：

　　（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来；

　　（2）将变形后的方程代入另一个方程中，得到一个一元一次方程；

　　（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

　　（4）把求得的未知数的值代入（1）所得式子中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解；

　　3．运用代入法解方程组应注意的事项：

　　（1）不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。

　　（2）如果两个方程中的x，y的四个系数中，有一个系数是1或-1，选取该方程进行变形，用另一个未知数把系数是1或-1的未知数表示出来，可使解方程的过程简单化。

　　（3）要检验求得的结果是否正确。

　　中考典例

　　1．（湖南长沙）解二元一次方程组：

　　考点：二元一次方程组的解法

　　评析：本题第二方程中x的系数是1，y的系数是-1，将第二方程变形，用x表示y或用y表示x都较简单。解题具体过程如下。

　　解：

　　由（2）得x=y-5 （3）

　　将（3）代入（1）得2y-10+3y=40

　　解得y=10

　　将y=10代入（3）得x=5

　　∴

　　真题专练:

　　1．（福建福州）已知a:b=3:1，且a+b=8，则a-b=_______。

　　2．（江西）方程组 的解_______。

　　答案：

　　1．4

　　解：设a＝3x，b＝x

　　则 a＋b＝3x＋x＝8

　　∵ x＝2

　　∴ a＝6 b＝2

　　a－b＝4

　　2． 解题过程如下：由①得x＝5—y③，将③代入②得5—y—2y＝-1，

　　解得：y＝2，将y＝2代入③得x＝5—2＝3 ∴

　　课外拓展

　　不定方程趣谈

　　一、从“百钱买百鸡”谈起

　　5世纪末，我国数学家张丘建写了一本《算经》，书中有一道世界数学史上有名的“百钱买百鸡”题：

　　一只公鸡5元，一只母鸡3元，三只小鸡1元，用100元想买100只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各买几只？

　　如果设买公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，那么可列得方程组

　　（2）×3—（1） ，得14x+8y=200,

　　即 7x+4y=100..........③

　　①和②两个方程组成一个有三个未知数的方程组，经过消元，化为含有两个未知数的一个方程③。在方程③里，如果x取一个值，就可以求出与它对应的y的一个值。例如

　　取 x=-2, 则y=28.5；

　　取 x=0, 则y=25；

　　取 x=1.6, 则y=22.2；

　　取 x=4, 则y=18；

　　……

　　因为③是一个二元一次方程，它有无数个解，所以原方程组也有无数个解。例如

　　∵ 由(1)得 z=100-x-y,

　　∴ 取 x=-2, 则y=28.5, 从而z=73.5；

　　取x=0, 则y=25, 从而z=75；

　　取x=1.6, 则y=22.2, 从而z=76.2；

　　取x=4, 则y=18, 从而z=78；

　　……

　　一般来说，未知数的个数多于方程的个数，那么它的解就不确定，所以这类方程（组）叫做不定方程（组）。但是，不定方程（组）在特定的条件下，有时可以找到它的确定的解，如“百钱买百鸡”的问题，因为鸡的只数是非负整数，所以就有四组解。

　　二、二元一次方程的整数解

　　我们这里只讨论二元一次不定方程ax+by=c（其中a、b是非零整数，c是整数）的整数解。

　　例1 求不定方程7x+4y=100的整数解。

　　解：4y=100-7x,

　　y= =25- x,

　　因为x，y都是整数，所以x必须是4的整数倍，即

　　x …… -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 ……

　　y …… 53 46 39 32 25 18 11 4 -3 ……

　　回过来看“百钱买百鸡”问题，因为鸡的只数是非负整数，所以从例1的解中可以得到四组解：

　　例2 求不定方程6x-9y=16的整数解。

　　解：因为6和9的最大公约数是3，所以方程的两边同除以3，得

　　2x-3y=

　　由于x和y都是整数，因此方程的左边（2x-3y）也是整数，然而方程的右边是分数 ，矛盾！故本题无整数解。

　　从上面两个例子看到，如果二元一次不定方程 ax+by=c（其中a、b是非零整数，c是整数）中，

　　（1）a和b互质，方程有整数解；

　　（2）a和b不互质，但它们的最大公约数能整除c，方程有整数解；

　　（3）a和b不互质，又它们的最大公约数不能整除c，方程无整数解。

　　（证明略）

　　三 、举例

　　小明外婆送来满满一篮鸡蛋，这只篮子最多只能装55只左右的鸡蛋。小明3只一数剩1只，忘了数多少次，因此只好重数。他5只一数剩2只，可又忘了数多少次。他准备再数，小明妈妈就说：“不用数了。”小明呆呆地望着妈妈，妈妈的眼珠转动几下，就说：“共有鸡蛋52只。”小明惊讶地问妈妈怎样知道的，妈妈告诉小明，她是这样求得答案的：

　　设篮子里最多能放鸡蛋m只；每3只一数，共x次，剩1只；每5只一数，共数y次，剩2只，即

　　因此有 3x+1=5y+2，

　　整理得 y=

　　因为x，y都是正整数，所以（3x-1）也必定是5的整数倍，即有

　　x 2 7 12 17 22 ……

　　y 1 4 7 10 13 ……

　　m 7 22 37 52 67 ……

　　因为篮子里的鸡蛋是满满的，又不超过60只，所以m是52,也就是说篮子里有52只鸡蛋。

　　小明满意地微笑，说：“日常生活中也有不定方程的问题！”