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在正式介绍排列组合前，我们先来通过几道例题明确几个概念。

例题 1：从写有数字 123456 的 6 张卡片中选取三张组成三位数，有多少种选法？解：从 6 张卡片中选取三张，构成三位数的组合数为：(6 选 3) = 6!/(3! * (6-3)!) = 20 种。

例题 2：A，A，A，B，B 排成一列，有多少种排法？解：A 和 A 相同，B 和 B 相同，故排列数为：(5 选 2) / (2! * 2!) = 5 种。

在留考中涉及的排列组合问题通常不会太过复杂。本文将为大家详细介绍 12 种常见题型。

题型 1：排列（不重复）例题：从 5 个数字 0，1，2，3，4 中选 3 个数字组成三位数。（1）可以组成多少个奇数？多少个偶数？（2）可以组成多少个 4 的倍数？（3）可以组成多少个比 321 小的整数？答案：（1）奇数：个位有 2 种选择，百位有 4 种选择，十位有 3 种选择，共 2 * 4 * 3 = 24 种。偶数：个位有 3 种选择，百位有 4 种选择，十位有 3 种选择，共 3 * 4 * 3 = 36 种。（2）4 的倍数：后两位为 4 的倍数，即后两位为 04, 12, 20, 24, 32, 40。每种组合有 3 种选择，共 6 * 3 = 18 种。（3）比 321 小的整数：2##, 1##, 30#, 31#, 320，共 12 种。

题型 2：排列（相邻）例题：5 个文字 A，A，B，B，X 排成一行。（1）一共有多少种排列方法？（2）A 和 A 相邻的排列方法有多少种？（3）A 和 A 相邻，B 和 B 相邻的排列方法有多少种？（4）A 和 A 不相邻，且 B 和 B 不相邻的排列方法有多少种？（5）X 左右各一个 A 的排列方法有多少种？答案：（1）将相同文字看成一个整体，共有 5! / (2! * 2!) = 30 种排列。（2）将 AA 看成一个整体，共有 4! / 2! = 12 种排列。（3）将 AA 和 BB 看成两个整体，共有 3! = 6 种排列。（4）整体法：所有排列 - AA 相邻 + BB 相邻 - AA 和 BB 都相邻 = 30 - (12 + 12) + 6 = 12 种排列。（5）先从 5 个位置中选 2 个放 B，其余位置依次放 A 和 X，共有 5! / (3! * 2!) = 10 种排列。

题型 3：排列（不相邻）例题：4 张红色卡片和 5 张蓝色卡片排成一列。（1）一共多少种排列方法？（2）红色卡片不相邻的排列方法有多少种？答案：（1）与题型 2 相同，共有 9! / (4! * 5!) = 126 种排列。（2）用插空法，5 张蓝色卡片排成一行共有 6 个空位，从中选 4 个空位插红色卡片，共有 C(6, 4) * 4! * 5! = 15120 种排列。

题型 4：排列（连续）例题：3 个黑球和 6 个白球排成一列。（1）黑球连续排列 2 个以上的排列方法有多少种？（2）白球连续排列 4 个以上的排列方法有多少种？答案：（1）根据黑球连续排列的个数分类，共有 8 种排列。（2）与题型 4 同理，共有 15 种排列。

题型 5：圆排列例题：3 个小孩 5 个大人坐一个圆桌，小孩子不相邻的坐法有多少种？答案：先固定大人排列，共有 4! 种排列。然后从 6 个空位中选择 3 个空位插小孩，共有 C(6, 3) * 3! 种排列，共有 4! * 20 = 480 种排列。

题型 6：排列与不等式例题：骰子掷 4 回，掷出的点数依次为 1, 2, 3, 4 。（1）1, 2, 3, 4 的情况有多少种？（2）1, 2, 3, 4 或者 1, 2, 3, 5 的情况有多少种？（3）1, 2, 3, 4 或者 1, 2, 4, 5 的情况有多少种？答案：（1）从数字 1~6 中挑 4 个不同数字，共有 C(6, 4) * 4! = 360 种情况。（2）将 5 变为等同于 4 + 1，共有 C(7, 4) * 4! = 840 种情况。（3）将 5 变为等同于 4 + 1，共有 C(7, 4) * 4! = 840 种情况。

题型 7：重复组合例题：橘子，苹果，梨，葡萄四种水果中一共买 7 个水果，（1）有的水果不买也可以，有多少种买法？（2）如果每种水果至少买一个，有多少种买法？答案：（1）从 7 个球和 3 个隔板排列，共有 C(10, 3) = 120 种买法。（2）将每种水果都买一个球后，剩余的球进行圆排列，共有 C(6, 3) * 3! = 120 种买法。

题型 8：分组（组不区分）例题：5 个球放进三个箱子（箱子不区分）。（1）如果球之间没有区别，有空箱也可以的话，有多少种放法？（2）如果球之间有区别，（i）空箱可以存在的话，有多少种放法？（ii）空箱不可以存在的话，有多少种放法？答案：（1）球和箱之间没有区别，空箱允许的情况下，一共有 5 种情况。（2）（i）球之间有区别，空箱允许的情况下，共有 41 种放法。（ii）空箱不允许，共有 25 种放法。

题型 9：分组（组有区分）例题：5 个球放进三个箱子。（1）可以有空箱的话，有多少种放法？（2）不可以有空箱的话，有多少种放法？答案：（1）由于球和箱都有区别，且允许有空箱，则每个球都有三种选择，共有 3^5 = 243 种放法。（2）用整体法，所有放法 - 有空箱的放法 = 没有空箱的放法。先给箱子做区分如 ABC，共有 21 种放法。

题型 10：最佳线路例题：上图街道所示，出发点为 A 点。（1）到 P 的最短线路有多少种？到 Q 的最短线路有多少种？到 R 的最短线路有多少种？（2）到 B 的最短线路有多少种？途中经过 Q，R 的最短线路有多少种？要求不经过 P，Q，R 的线路有多少种？答案：（1）到 P、Q、R 的最短线路分别为 1、4、10 种。（2）到 B 的最短线路有 12 种。经过 Q、R 的线路有 18 种。要求不经过 P、Q、R 的线路有 68 种。

题型 11：图形例题：（1）如上图所示，6 条平行线和另外 6 条平行线纵横交错，一共可以组成多少个平行四边形？（2）把一个圆周 12 等分，顶点依次为 1, 2, 3, ..., 12 。（i）从中选取三个顶点组成三角形，可以组成多少个正三角形？（ii）从中选取三个顶点组成三角形，可以组成多少个等腰三角形？答案：（1）要组成平行四边形，就是从纵横六条线中分别选择两条，共有 C(6, 2) * C(6, 2) = 225 种。（2）（i）正三角形，一共有 4 个。（ii）等腰三角形，一个顶点可以引出 4 个等腰三角形（不包括等边），十二个顶点就是 48 个，再加上 4 个等边，一共有 52 个等腰三角形。

题型 12：涂色例题：对一个立方体的六个面进行涂色（立方体旋转后相同的涂法算一种）。（1）用包括黑白的六个颜色涂色，上面固定涂白，下面固定涂黑的涂法有多少种？（2）用六个颜色来涂（每个面只能涂一种颜色）有多少种涂法？（3）用四种颜色来涂（每种颜色都要用）且相同颜色的面不相邻的涂法有多少种？答案：（1）上下固定，对侧面涂色，就相当于四个颜色进行圆排列，共有 C(4, 4) * 4! = 24 种。（2）先固定一个面的颜色，再从剩下五个颜色中选出一个颜色涂对面，剩下的四个颜色进行圆排列，共有 C(6, 1) * C(5, 1) * 4! = 1440 种。（3）四种颜色来涂，且相邻面不同色，则只能有两个颜色涂两个面，两个颜色涂一个面。先选涂两个面的颜色 C(4, 2) = 6 种。因为颜色要不相邻，所以只能涂对面。这样，颜色选好后对应只有一种涂法，共有 6 种。