判断极限是否存在，应依据极限定义进行。函数 $f(x)$ 在$x$接近特定值$a$时，其极限值$L$与$f(a)$比较。若两者相等，说明极限存在；若不相等，则极限不存在。

理解极限存在性的关键在于，当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值应无限接近$L$，且不论$x$从左侧还是右侧接近$a$，$f(x)$的极限值$L$保持不变。若在接近$a$时，$f(x)$的值稳定趋近于$L$，则极限存在。

举例来说，若函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，在$x$趋近于1时，$f(x)$的极限值为2。此时，虽然$f(1)$未定义，但极限存在，因为当$x$无限接近1时，$f(x)$的值无限接近2。

对于更复杂的函数，如$f(x) = \sin(\frac{1}{x})$在$x$趋近于0时，$f(x)$的值在-1和1之间无规律地波动，极限不存在，因为不存在单一的$L$值使所有接近0的$x$对应的$f(x)$值趋近于$L$。

总之，判断极限存在与否的关键在于观察函数在接近特定点时的行为。若函数值趋于单一值，且不依赖于接近点的方式，则极限存在；若函数值无规律波动，或趋于多个值，则极限不存在。