20的80次方或20的79次方。

第一步20，第二步又20，一共20 x 20。

如此类推

第40手，如果先下者胜利的话，就20^78 <= n <= 20^79，此时对方无需再下

如果后手胜的话，20^79 <= n <= 20^80。（此处作了修改，因为最后一步很多情况下都是只有一种可能）。

至于补充的问题，会不会比10的100次方大。我认为无论上下限都会比10的100次方大。

方法有二：

a. 用计算器算。10^100次幂是1.0e+100，20^78大约是3.022e+101。现在的计算器的上限很多是比1.0e+100少1，所以只需计算20^78，如果出线溢出错误，就是说结果大于等于1.0e+100。而且20^78肯定不等于1.0e+100，所以必定大于1.0e+100

b. 用手估算。

10^100 = 10^80 * 10^20

20^80 = (10 * 2)^80 = 10^80 * 2 ^80 = 10^80 * (2^4)^20 = 10^80 * 16^20

很明显，20^80大于10^100

而20^78只需再20^80那里除以20^2（也就是400），具体思路是求400的20次方根，计算器得出大概是1.349，用16除以这个数还是大于10，所以结果仍然大于10^20。所以20^78大于10^100

此乃拙见，请其他高手多加指点。谢谢

原楼上的回答者的PS：这个问题本来就是考虑理想状态。其实一步棋之后变化肯定不只20种，就一个主教很可能已经不止了。但题目规定了20种，只能是考虑理想状态。