数学题： ∫0到1 f(tx)dt=nf(x) 求f(x)等于什么
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2024-12-31
在左边令tx=u，则t=u/x左边=∫(0→x)f(u)*du/x=∫(0→x)f(u)du/x所以∫(0→x)f(u)du=nxf(x)两边求导：f(x)=nf(x)+nxf'(x)(1-n)f(x)=nxdf(x)/dxdx/x=n/(1-n)*df(x)/f(x)两边积分：ln|x|=n/(1-n)*ln|f(x)|+C所以x=C*[f(x)]^(n/(1-n))f(x)=C*x^((1-n)/n)
在左边令tx=u，则t=u/x
左边=∫(0→x)f(u)*du/x=∫(0→x)f(u)du/x
所以∫(0→x)f(u)du=nxf(x)
两边求导：f(x)=nf(x)+nxf'(x)
(1-n)f(x)=nxdf(x)/dx
dx/x=n/(1-n)*df(x)/f(x)
两边积分：ln|x|=n/(1-n)*ln|f(x)|+C
所以x=C*[f(x)]^(n/(1-n))
f(x)=C*x^((1-n)/n)
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