提出撤销仲裁裁决申请的方式，当事人可直接向人民法院提出。人民法院会对此申请进行审查，并作出撤销裁决或驳回申请的裁定。

依据《中华人民共和国仲裁法》第五十八条，有证据证明裁决存在以下情形的，当事人有权向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决：没有仲裁协议、裁决事项超出了仲裁协议的范围或仲裁委员会无权仲裁、仲裁庭组成或程序违反法定程序、裁决所依据的证据是伪造、对方当事人隐瞒了影响公正裁决的证据、仲裁员在仲裁时有不法行为。如果人民法院审查后认定存在上述情形之一，将会裁定撤销裁决。若认定裁决违背社会公共利益，同样裁定撤销。

整个过程中，人民法院将作为中立的审查机构，依据法律和事实进行审查。当事人需提供充分的证据来支持撤销裁决的申请。一旦申请被接受，裁决将被撤销，为当事人争取到重新进行仲裁或诉讼的机会。