评价学生学习状况的目的是通过了解学生在校基本的学习情况，便于因材施教和学生个性化培养，使学生共同进步。然而，现行的评价方法单纯的以学生的考试成绩作为衡量学生学习状况的依据，忽略了由于诸多因素导致的个体学生基础条件差异的现实，很难对基础较差和吸收能力慢的学生起到促进作用。本文根据六百多名学生四个学期的综合成绩，采用主成份分析法，科学、合理的评价这些学生的学习状况，为高校学生的学习状况评价提供参考。

一、学习状况评价分析

要想科学、合理的评价学生的学习状况,不仅要参考学生学习状况的平均值，还必须参考学生成绩的进退、稳定性和基础影响等一系列因素，然后依据成熟的评价分析算法进行综合评价。

二、学习状况评价前提

(1)假设学生并未适应新的学习环境，把第一学期成绩作为学生的基础情况。

(2) 假设学生之间的成绩互不影响，学生之间的成绩不存在明显的关联性。

(3) 假设学生本身的学习状态作为学生的成绩主要影响因素。

三、计算公式的符号说明

j：每个学期的成绩平均值；i：所有学期的成绩平均值；sj：第j学期的成绩方差；v1：偏度；v2：峰度；R：相关系数的计算矩阵；dq（x,y）：Minkowski 距离；Mtw：第t学期的加权移动平均数；p(k)：级比偏差；λ(k)：级数比；

四、学习状况评价的模型建立与求解

通过主成份分析可以用较少的变量去解释原来资料中的大部分变异, 将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量.通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标.由此可见，主成分分析实际上是一种降维方法。

（一）基本思想及方法

如果用x1,x2…xp表示p门课程,c1,c2,…，cp表示各门课程的权重,那么加权之和就是s=c1x1+c2x2+…+cpxp

我们希望选择适当的权重能更好的区分学生的成绩.每个学生都对应这样的综合成绩,记为s1，s2，sn,n为学生人数.如果这些值很分散,表明区分得很好,即是说,需要寻找这样的加权,能使尽可能的分散,下面来看它的统计定义。

设X1，X2，…，Xp表示以x1,x2,…,xp为样本观测值的随机变量,如果能找到c1,c2,…,cp,使得Var(c1X1+c2X2+cpXp)的值达到最大，则由于方差发映了数据的差异程度，因此也就表明我们抓住了这变量的最大变异.当然，（1）式必须加上某种限制，否则权值可选无穷大而没有意义，通常规定c+c+…c=1。

在此约束下，求（1）式的最优解。由于这个解是p-维空间的一个单位向量，它代表一个“方向”，它就是通常所说的主成份方向。

一个主成份不足以代表原来的p个变量,因此需要寻找第二乃至第三、第四主成份,第二个主成份不应该在包含第一个主成份的信息,统计上的描述就是让这两个主成份的协方差为零,几何上就是让这两个主成份的方向正交.

（二）模型求解

1、提取612名学生成绩的特征向量

由于现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异,从而导致只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用.我们除了提取平均成绩作为特征向量外，还应提取能反映学生进退步情况，入学时基础的影响的特征向量。

记（xi1,xi2,xi3,xi4）,i=1,2…,n，为n(这里n=612)名学生的四个学期的成绩

定义特征向量:x1=i=xij平均成绩：x2=s=(xij-i)2

表示学生的成绩方差：x3=xi1,为学生第一学期成绩,近似认为是入学成绩。

x4=,表示四学期平均成绩比入学成绩的提升比例，

其中,m=4,i=1,2,3,…612

2、对原始数据进行标准化处理

将各观测值xij转化成标准化值ij=(i=1,2,…，n；j=1,2,3,4)

3、计算相关系数矩阵R

相关系数矩阵R=（rij）mxm式中rii=1,rij=rji,rij是xi与xj的相关系数。

rij=,(i,j=1,2,3,4)

4、计算特征值和特征向量

计算的相关系数矩阵的4个特征值分别为

λ1=2.3263，λ2=1.1167,λ3=0.5472,λ4=0.0098

四个主成份分别为

1=（1，2，3，4，）・ф1

2=（1，2，3，4，）・ф2

3=（1，2，3，4，）・ф3

4=（1，2，3，4，）・ф4

得到总得分y=-0.47131+0.25472-0.17673-0.34164，

（三）结论分析

我们依据y值对学生进行全方面评价,评价详细排名见附表1.我们认为综合得分越小学生表现越好,并与只依据平均分进行的评价作比较.例如我们分析排名前3名和后3名的学生得分

表2 综合评价排名

结合原始数据,我们看到经主成分综合评分在前列的学生不仅平均成绩高,成绩稳定，还有一定的进步幅度和；排在后列的几名学生则平均分低，成绩或起伏太大，或下降幅度太大.通过比较,传统的按照平均分对学生进行的评价方式不够全面.

总结

本文通过合理的考虑学生的入学基础、成绩稳定性、进步情况等因素综合起来对个体学生进行评价。利用主成分分析法得到各个特征的权值，,根据得出的学生综合得分对学生的学习状况进行了科学合理的评价分析。