没什么区别，英式英语比较传统，写作favour，而美国人追求简洁，所以简化了一下。类似的词还有color，英式是colour而美式是color.至于你说could you do me a favour，可能课本上是这样的，因为我们学习的大都是英式的英语。写成could you do me a favor也完全正确。