ANOVA（分析变异性）是一种统计方法，用于分析多组样本平均数是否显著不同。

假设我们有四所大学：清华大学，北京大学，中国人民大学和天津外国语大学，每所大学随机抽取50名学生，测量他们的智商（IQ）。

以下是四所大学学生IQ的平均分数：

清华大学：平均131分

北京大学：平均130分

中国人民大学：平均131分

天津外国语大学：平均121分

通过Box plot我们可以发现这些大学学生的IQ存在差异。

然而，这些差异可能是由于误差引起的，还是真实存在差异？我们使用ANOVA解决这个问题。

ANOVA的基本思路是计算组间方差与组内方差的比值，如果比值较大，则更有可能认为不同学校间IQ的平均值存在显著差异。

首先，我们假设所有学校学生的平均IQ相同，并计算如下：

1. 总变异性（SST）：衡量所有200名学生的IQ变异性。计算方法是求所有学生IQ减去平均IQ的平方和。

2. 组间变异性（SSG）：衡量四所大学之间IQ的变异性。计算方法是求每所大学IQ平均值与总平均IQ差的平方，然后乘以每所大学的样本量。

3. 组内变异性（SSE）：衡量四所大学内部IQ的差异。计算方法是求总变异性减去组间变异性。

然后，我们需要计算自由度来确定每个变异性项的平均变异性。

最后，我们通过组间变异性与组内变异性比值得到F值。如果F值大于特定阈值，我们有理由认为至少有一所大学的平均IQ与其他大学不同。

我们使用标准公式计算如下：

1. SST = Σ(xi - x̄)²，其中xi为每个学生IQ，x̄为所有学生平均IQ。

2. SSG = Σ[ni * (x̄i - x̄)²]，其中ni为每所大学的学生样本量，x̄i为每所大学的平均IQ，x̄为所有学生的平均IQ。

3. SSE = SST - SSG。

接下来，计算自由度：

1. 总自由度 = 总样本量 - 1。

2. 组间自由度 = 组数 - 1。

3. 组内自由度 = 总自由度 - 组间自由度。

然后计算每个自由度对应的平均变异性：

1. 组间平均变异性 = SSG / 组间自由度。

2. 组内平均变异性 = SSE / 组内自由度。

计算F值：

F = 组间平均变异性 / 组内平均变异性。

最后，我们使用统计软件计算P值，若P值小于预设阈值（通常为0.05），则说明至少有一所大学的平均IQ与其他大学不同。

综上所述，通过ANOVA方法，我们可以分析不同大学学生IQ的平均差异是否显著，从而得出至少有一所大学的学生IQ与其他大学有显著差异。