4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．

　　证 连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．

　　因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，

　　所以 ∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．

　　因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以

　　∠1=∠2=45°，∠3=∠4，

　　所以　　△ADN∽△BDM，

　　又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以 △MDN∽△BDA，

　　所以 　　　　　∠BAD=∠MND．

　　由于∠BAD=∠LCD，所以 ∠MND=∠LCD，

　　所以D，C，L，N四点共圆，所以 ∠ALK=∠NDC=45°．

　　同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为 △AKM≌△ADM，

　　所以 　　　　　AK=AD=AL．而

　　而

　　从而

　　所以 S△ABC≥S△AKL．