一、对称性的概念及常见函数的对称性

1、对称性的概念:

(1)轴对称图形:一个函数图象沿直线对折，两侧图象能完全重合，则具备轴对称性，这条直线是该函数的对称轴。

(2)中心对称图形:一个函数图象绕点旋转180度，得到的图象能与原图象完全重合，则具备中心对称性，该点是函数的对称中心。

2、常见函数的对称性

(1)常数函数:具备轴对称和中心对称性，所有点都是对称中心，垂直于该直线的直线为对称轴。

(2)一次函数:具备轴对称和中心对称性，所有点都是对称中心，垂直于该直线的直线为对称轴。

(3)二次函数:轴对称性，无中心对称性，对称轴方程为x=-

。

(4)反比例函数:轴对称和中心对称性，原点为对称中心，直线y=x与y=-x为对称轴。

(5)指数函数:无轴对称和中心对称性。

(6)对数函数:无轴对称和中心对称性。

(7)幂函数:奇函数是中心对称，对称中心为原点；偶函数是轴对称，对称轴为y轴；其他幂函数无对称性。

(8)正弦型函数:轴对称和中心对称，对称中心为wx+φ=kπ(k∈Z)，对称轴为wx+φ=kπ+

（k∈Z）。

(9)余弦型函数:轴对称和中心对称，对称轴为x=kπ(k∈Z)，对称中心为(kπ,0).

(10)正切型函数:无轴对称，中心对称，对称中心为(kπ,0).

(11)对号函数:中心对称，原点为对称中心，最值处非对称轴。

(12) 绝对值函数:偶函数，关于y轴对称；y轴下方图象对称到x轴上方，是否对称视函数而定。

二、函数自身的对称性探究

1、关于点A (a ,b)对称的条件：f(x) + f (2a-x) = 2b.

证明：设点P(x ,y)是y = f (x)图象上任一点，点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'(2a-x，2b-y)也在y = f (x)图象上，因此 2b-y = f (2a-x)，即y + f (2a-x)=2b，故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得证。

2、关于原点O对称的条件：f (x) + f (-x) = 0。

3、关于直线x = a对称的条件：f(a +x) = f (a-x)。

推论：函数y = f (x)的图象关于y轴对称的条件：f (x) = f (-x)。

三、不同函数对称性的探究

1、函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图象关于点A (a ,b)成中心对称。

2、函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图象关于直线x = a成轴对称。

3、函数y = f (x)与y = f (a-y)的图象关于直线x +y = a成轴对称。

4、函数y = f (x)与y = f (y + a)的图象关于直线x-y = a成轴对称。

四、三角函数图象的对称性列表

五、函数对称性应用举例

例1:非常数函数满足:f (10+x)为偶函数，且f (5-x) = f (5+x)，则f (x)一定是 (偶函数，也是周期函数)

例2:定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)的图象关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)= (2001)

例3:设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x)，当-1≤x≤0时，f(x) =1 - x，则f (8.6 ) = (0.3)

例4:函数 y = sin (2x +

)的图象的一条对称轴的方程是(x = - )

例5: 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= -f(x)，当0≤x≤1时，f(x) = x，则f (7.5 ) = (-0.5)