整式的概念

学习要求：

会把一个多项式按某一个字母的升降幂排列。

本节命题主要考查整式、单项式、单项式的系数与次数、多项式的次数与项数等概念及多项式按某个字母的升（或降）幂排列，多以填空的形式出现.

核心知识

1．单项式的概念

代数式3a,-mn,x2,-abx,4x3它们都是用数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.

单项式中的数字因数叫做单项式的系数.

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如：

3a 是3与字母a的积，字母a的指数是1，所以单项式3a的系数是3，次数是1.

-mn可以看作是-1·mn，是-1与mn的积，所以单项式-mn的系数是-1，次数是2.

单项式x2的系数是1，次数是2，这里的系数1通常是省略不写的.

单项式-2abx的系数是-2，次数等于三个字母指数的和，即1+1+1=3.注意此单项式的系数是负数，要注意单项式的系数，包括它前面的符号，不要漏掉.

根据单项式的定义知道，在单项式中只含有乘法（包括乘方）和数字作除数的除法运算.所以像 m2n、- 这样的代数式都是单项式.其中单项式- 可以看成是数- 与ab的积，它的系数是- ，次数是2.

分母中含有字母的代数式，一般情况都不是单项式.如 ，它们不能看成是数字因数与字母的积.

2．多项式的概念

几个单项式的和叫做多项式.如代数式：2a+b,x2-3x+2,m3-3n3-2m+2n都是多项式.其中x2-3x+2可以看成单项式x2,-3x,2的和，m3-3n3-2m+2n可以看成是m3,-3n3,-2m,2n的和.

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项.在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.如

多项式x2-3x+2共有三项，分别是x2,-3x,2.其中第二项是“-3x”,而不能说成是“3x”，2是常数项.

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.例如：2a+b是一次二项式；x2-3x+2是二次三项式；m3-3n3-2m+2n是三次四项式.

单项式和多项式统称整式.其中单项式只允许含有乘法以及以数字为除数的除法运算；多项式中必须含有加法或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.

由此可见，单项式中不含加或减法运算，而多项式必须含有加或减法运算，这是二者的最明显区别.

3．多项式的排列

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法交换律与结合律交换多项式中各项的位置.为了计算方便，一般是把一个多项式按照其中某一个字母的指数大小顺序排列.

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.

重点难点

1． 本节的重点是整式的有关概念；难点是正确识别多项式的项和项的系数.

2．关于单项式的系数，学习中要注意：① 系数要包括前面的符号；② 系数是1或-1时，通常省略不写.

3．关于单项式的次数：①当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；②对于不含字母的非0数，如-2，0.5, 等,这些单项式叫“零次单项式”，对于数0则说它是“任意次单项式”.

4．关于多项式的项，每项必须包括它前面的符号.

5．多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与求单项式的次数区分开.

例1 计算x4÷x4-(-x)(-x)3÷(-x)2+(-x)2×(-x6)÷(-x) 4．

解 原式=1-(-x)4÷x2-(+x)8÷x4

=1-x4÷x2-x8÷x4

=1-x2-x4．

例2 计算2(x-y)·6(x-y)2-16(x-y)5÷(y-x)2+4(x-y)3．

分析 因为减法没有交换律，所以x-y≠y-x．但(x-y)2=(y-x)2，由此可将原式先化为同底数幂的乘除，然后再进行运算．

解 原式=2(x-y)·6(x-y)2-16(x-y)5÷(x-y)2+4(x-y)3

=12(x-y)3-16(x-y)3+4(x-y)3

=-4(x-y)3+4(x-y)3

=0．

例3 已知在(x+m)(x2-2x+3)的乘积中不含x2项，求m并求此时的乘积．

分析 乘积中不含x2项，也就是x2项的系数为零，我们可以由相等的多项式的对应项系数相等的关系求出m，然后再代入求积．

解 (x+m)(x2-2x+3)

=x3-2x2+3x+mx2-2mx+3m

=x3-(2-m)x2+(3-2m)x+3m，

由题意可知2-m=0，所以m=2．把m=2代入乘积中，得

(x+m)(x2-2x+3)=x3-x+6．