二次函数是描述抛物线特性的数学模型，其核心特性如下：

1. 抛物线是轴对称图形，其对称轴由公式x = -b/2a确定，这个轴与抛物线唯一交点P构成顶点。若b=0，对称轴将是y轴（即x=0）。

2. 抛物线的顶点P的坐标为(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。当顶点在y轴上，即-b/2a=0；当判别式Δ=b^2-4ac=0时，顶点位于x轴上。

3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下，且|a|越大，开口越小。

4. 一次项系数b与a共同影响对称轴位置：ab同号时，对称轴在y轴左侧；ab异号时，对称轴在y轴右侧。

5. 常数项c决定了抛物线与y轴的交点，即(0, c)。抛物线与x轴的交点数量由判别式决定：Δ>0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ<0时无实数交点。

6. 当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a，此点是函数的最低点。函数在(-∞, -b/2a)上递减，在(-b/2a, +∞)上递增。抛物线开口向上，值域为y≥4ac-b^2/4a。

7. 二次函数的定义域为实数集R，值域根据解析式有所不同，对于a>0的情况，值域可能是(4ac-b^2)/4a到正无穷，或者更一般地，t到正无穷。当b=0时，函数为偶函数，解析式简化为y=ax^2+c。

以上是二次函数的基本性质，通过这些参数，我们可以全面理解抛物线的形状、位置和变化趋势。

扩展资料

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点式：y=a(x-h)^2+k;交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2).