证法一（初中知识证法）：

证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。

设AC=BM=X，MC=AN=Y，则

BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y

AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2）

过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB

AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM

AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2）

NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2）

过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC

PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y

PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y）

BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y

BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]

BF=BM+FM=X+FM

FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM

FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）

PM/FM=AM/CM

PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y]

=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）

PE=AM-AE-PM

=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）

=Y^2/√（X^2+Y^2）

=NE

因为NE⊥AM，即NE⊥PE

可知在直角△NEP中，NE=PE

故∠EPN=45°

但∠BPM=∠EPN

所以∠BPM=45°

证法二：

证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。

设AC=BM=X，MC=AN=Y，则

BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y

tan∠AMC=AC/MC=X/Y

tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y）

∠AMC=∠BPM+∠NBC

∠BPM=∠AMC-∠NBC

tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC）

=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC）

=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）]

=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）]

=（X^2+Y^2）/（X^2+Y^2）

=1

因为∠BPM<180°

所以∠BPM=45°