1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）

A、81 B、64 C、12 D、14

2、n∈N且n<55，则乘积（55-n）（56-n）……（69-n）等于（）

A、 B、 C、 D、

3、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（）

A、64 B、60 C、24 D、256

4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（）

A、2160 B、120 C、240 D、720

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且

合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）

A、 B、 C、 D、

6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）

A、 B、 C、 D、

7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（）

A、24 B、36 C、46 D、60

8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，

其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（）

A、 B、

C、 D、

答案：

1-8 BBADCCBA

一、填空题

1、（1）（4P84+2P85）÷（P86-P95）×0！=___________

（2）若P2n3=10Pn3，则n=___________

2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为

__________________________________________________________________

3、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法。

4、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成

_________种不同币值。

二、解答题

5、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，

（1）在下列情况，各有多少个？

①奇数

②能被5整除

③能被15整除

④比35142小

⑤比50000小且不是5的倍数

6、若把这些五位数按从小到大排列，第100个数是什么？

1 × × × ×

1 0 × × ×

1 2 × × ×

1 3 × × ×

1 4 × × ×

1 5 0 2 ×

1 5 0 3 2

1 5 0 3 4

7、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲排头

（2）甲不排头，也不排尾

（3）甲、乙、丙三人必须在一起

（4）甲、乙之间有且只有两人

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻

（6）甲在乙的左边（不一定相邻）

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

（8）甲不排头，乙不排当中

8、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数

（1）这样的三位数一共有多少个？

（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？

（3）所有这些三位数的和是多少？

答案：

一、

1、（1）5

（2）8

二、

2、abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc

3、8640

4、39

5、

①3× =288

②

③

④

⑤

6、

=120 〉100

=24

=24

=24

=24

=2

7、（1） =720

（2）5 =3600

（3） =720

（4） =960

（5） =1440

（6） =2520

（7） =840

（8）

8、（1）

（2）

（3）300×（100+10+1）=33300

排列与组合练习

1、若 ，则n的值为（ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

2、某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学

生均不少于2人的选法为（ ）

A、 B、

C、 D、

3、空间有10个点，其中5点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不

同平面的个数是（ ）

A、206 B、205 C、111 D、110

4、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）

A、 B、 C、 D、

5、由5个1，2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是（ ）

A、21 B、25 C、32 D、42

6、设P1、P2…，P20是方程z20=1的20个复根在复平面上所对应的点，以这些点为顶

点的直角三角形的个数为（ ）

A、360 B、180 C、90 D、45

7、若 ，则k的取值范围是（ ）

A、[5，11] B、[4，11] C、[4，12] D、4，15]

8、口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取出一个线球记2

分，取出一个白球记1分，则使总分不小于5分的取球方法种数是（ ）

A、 B、

C、 D、

答案：

1、B 2、D 3、C 4、A 5、A 6、B

7、B 8、C

1、计算：（1） =_______

（2） =_______

2、把7个相同的小球放到10个不同的盒子中，每个盒子中放球不超1个，则有_______

种不同放法。

3、在∠AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上O点共12个点，以这12个点为顶

点的三角形有_______个。

4、以1，2，3，…，9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有_______种

不同取法。

5、已知

6、（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？

（2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？

（3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？

7、集合A中有7个元素，集合B中有10个元素，集合A∩B中有4个元素，集合C满足

（1）C有3个元素；（2）C A∪B；（3）C∩B≠φ，C∩A≠φ，求这样的集合C的个

数。

8、在1，2，3，……30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，

共有多少种不同的取法？

答案：

1、490

2、31

3、165

4、60

5、解：

6、解：（1）

（2）

（3）58+48=106

7、解：A∪B中有元素 7+10-4=13

8、解：把这30个数按除以3后的余数分为三类：

A={3，6，9，…，30}

B={1，4，7，…，28}

C={2，5，8，…，29}

（个）

　高二•排列与组合练习题（1）

一、选择题：

1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）

A．81 B．64 C．12 D．14

2、n∈N且n<55，则乘积（55－n）（56－n）……（69－n）等于（ ）

A． B． C． D．

3、用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（ ）

A．64 B．60 C．24 D．256

4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（ ）

A．2160 B．120 C．240 D．720

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（ ）

A． B． C． D．

6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）

A． B． C． D．

7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（ ）

A．24 B．36 C．46 D．60

8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，

其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

9、（1）（4P84+2P85）÷（P86－P95）×0！=___________

（2）若P2n3=10Pn3，则n=___________

10、从A．B．C．D这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为__________________

11、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法。

12、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成_________种不同币值。

三、解答题

13、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，

（1）在下列情况，各有多少个？

①奇数，②能被5整除，③能被15整除

④比35142小，⑤比50000小且不是5的倍数

（2）若把这些五位数按从小到大排列，第100个数是什么？

14、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲排头；

（2）甲不排头，也不排尾；

（3）甲、乙、丙三人必须在一起；

（4）甲、乙之间有且只有两人；

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻；

（6）甲在乙的左边（不一定相邻）；

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序；

（8）甲不排头，乙不排当中。

15、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数。

（1）这样的三位数一共有多少个？

（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？

（3）所有这些三位数的和是多少？

高二数学

排列与组合练习题

参考答案

一、选择题：

1．B

2．B

3．A

4．D

5．C

6．C

7．B

8．A

二、填空题

9．（1）5；（2）8

10．abc，abd，acd，bac，bad，bcd，cab，cad，cbd，dab，dac，dbc

11．8640

12．39

三、解答题

13．（1）①3× =288

②

③

④

⑤

（2）略。

14．（1） =720

（2）5 =3600

（3） =720

（4） =960

（5） =1440

（6） =2520

（7） =840

（8）

15．（1）

（2）

（3）300×（100+10+1）=33300

例1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒 ，则不同的选购方式共有( )

(A) 5种(B) 6种 (C) 7种(D) 8种

解法一 记购买的软件数为x，磁盘数为y，依题意

当x＝3时，y＝2，3，4；当x＝4时，y＝2，3；当x＝5时，y＝2；当x＝6时，y＝2.上述的不等式组共有7组解，故不同的选购方式共有7种，选C．

解法二 依题意，(x，y)是在坐标平面上，位于三条直线L1：x＝3，L2：y＝2，L3：60x＋70y=500围成的三角形的边界及内部的点(坐标均为整数的点)，如图7－2－1，这样的点共有7个，故选C．

评述 这是一个计数的应用问题，解法一转化为求不等式组的整数解的个数；解法二转化求坐标平面上特定区域内的整点个数．事实上，两种解法最终都采用了穷举法．这是解决计数问题的基本方法之一．

例2．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄,为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？

×○○○○○○×○○

×○○○○○○○×○

×○○○○○○○○×

○×○○○○○○×○

○×○○○○○○○×

○○×○○○○○○×

解法一 如表格所示，用×表示种植作物的地垄，О表示未种植作物的地垄，则不同的选垄方法共有6种，由于A、B是两种作物，故不同的种植方法共有12种．

解法二 选垄方法可分为三类：第一类间隔为6垄，有1－8，2－9，3－10三种选法；第二类间隔为7垄，有1－9，2－10两种选法；第三类间隔为8垄，只有1－10种选法，故选垄方法共6种，种植方法共12种．

评述 这是一个计数的应用问题，解法一采用了画框图的方法；解法二直接应用加法原理和乘法原理．

若将例1和例2判定为排列与组合的问题，并布列含排列数或组合数的算式，反而会将对问题的思考复杂化，难以得出正确的结论，由此可见，不应把计数问题都简单归结为排列和组合的问题，也不能只通过计算排列数或组合数求解．

例3．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．

(1)甲排中间；

(2)甲不排在两端；

(3)甲、乙相邻；

(4)甲在乙的左边(不一定相邻)；

(5)甲、乙、丙两两不相邻．

解：(1)甲排中间，其余6人任意排列，故共有 ＝720种不同排法．

(2)若甲排在左端或右端，各有 种排法，故甲不排在两端共有 ＝3600种不同排法．

(3)法一：先由甲与除乙以外的5人(共6人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻)，故共有 • ＝1440种不同排法．

法二：先将甲、乙合成为一个“元素”，连同其余5人共6个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有 • ＝1440种不同排法．

(4)在7人排成一行形成的 种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对应的(其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有 ＝2520种不同解法．

(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，每“空”1人，故共有 ＝1440种不同的排法．

评述 这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与限位，相邻与不相邻，左右或前后等．

例4．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：

(1)5的倍数；

(2)比20300大的数；

(3)不含数字0，且1，2不相邻的数．

解：(1)5的倍数可分为两类：个位数的位置上的数字是0或5，

个位数字是0的五位数有 个；

个位数字是5的五位数有4 个；

故5的倍数共有 ＋4 ＝216个

(2)比20300大的五位数可分为三类：

第一类：3××××，4××××，5××××；有3 个；

第二类：21×××，23×××，24×××，25×××，有4 个；

第三类：203××，204××，205××，有3 个．

故比20300大的五位数共有3 ＋4 ＋3 ＝474个．

(3)组成不含数字0，且1，2不相邻的数可分为两步，第一步：将3，4，5三个数字排成一行；第二步：将1，2插入第一步所形成四个“空”中的两个“空”，故共有 ＝72个．

评述 这是一组组成无重复数字的多位数的排数问题，也是一类典型的排列问题，常见的附加条件是倍数关系，大小关系、相邻关系等．应当注意的是排队问题不会有元素重复的问题，而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题．

例5 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有( )

(A) 150种(B) 147种(C) 144种(D) 141种

分析 取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．

解 在10个点中任取4点，有 种取法，取出的4点共面有三类(如图7－2－3)．

第一类：共四面体的某一个面，有4 种取法；

第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE，有6种取法；

第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM，共有3个．

故取4个不共面的点的不同取法共有 －(4 ＋6＋3)＝141(种)

因此选D

评述 由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等．

例6 (1)设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，这样的投放方法的总数为 ；

(2)四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共

有 种．

解(1)第一步：投放2个球，使其编号与盒子编号相同，有 种投法；第二步：投入其余3个球，以第一步的投法是1，2号球投入1，2号盒子内为例，其余3个球由于不能再出现球号与盒号相同的投法，如框图所示有2种投法．

④

⑤

③

⑤

③

④

345345

综上可知，符合题意的投放方法共有 ×2＝20种．

(2)第一步：取出两个小球( 种取法)合成一个“元素”，与另外两个球合成三个“元素”；第二步：将3个元素放入4个盒中的3个盒子，每个盒子放一个元素，形成一个空盒( 种放法)，故符合题意的放法共有 • ＝144种．

评述 这是一组具有一定综合性的计数问题，应当注意，第(1)题如果判定第二步余下3球可任意放入余下3 个盒子，列出 • 的算式，就会出错．