双曲函数是超越常规正弦和余弦的数学工具，它们在处理非欧几何和某些物理问题中发挥着重要作用。其中，双曲正弦(shHSin(X))和双曲余弦(chHCos(X))的表达方式分别如下：

双曲正弦函数shHSin(X)定义为(X的指数函数与它的相反数的指数函数之差)除以2，即：shHSin(X) = (Exp(X) - Exp(-X)) / 2。这里的Exp(X)代表e的x次方，Exp(-X)则表示e的-x次方，e是自然对数的底数。

而双曲余弦函数chHCos(X)的定义更为简洁，它等于X的指数函数与相反数的指数函数之和的一半，即：chHCos(X) = (Exp(X) + Exp(-X)) / 2。

双曲正切(thHTan(X))是另一个重要的双曲函数，它通过比较双曲正弦和双曲余弦来定义，公式为：thHTan(X) = (Exp(X) - Exp(-X)) / (Exp(X) + Exp(-X))。

总结起来，双曲函数通过运用指数函数的特性，为理解和解决特定数学问题提供了独特的工具，它们与常规的三角函数在性质和应用上有所不同。