实数和虚数在定义上有显著区别。实数用于测量连续的物理量，理论上可以表示为无限小数，小数点后为无穷数列。而虚数基于偶数次幂为负数的定义，所有虚数均属于复数范畴。实数包括有理数和无理数，有理数可表示为分数或整数，无理数则不能。

实数和虚数在基本运算上也有所不同。实数支持加、减、乘、除、开方等运算，且运算结果仍是实数。特别地，实数开偶次方仅限于非负数。相比之下，虚数的运算更为复杂，涉及三角函数和对数函数。虚数的ni次方和ni次方根有特定公式，以i为底的对数也有定义。

实数分为有理数和无理数，有理数涵盖整数与分数，正有理数包括正整数和正分数，负有理数则为负整数和负分数。无理数则无法用分数形式精确表示，表现为无限不循环小数。例如，圆周率π和根号2都是无理数。

实数和虚数的数学性质也各不相同。实数集合封闭于加减乘除，而虚数则涉及复数平面的旋转和伸缩。实数的加减乘除运算结果仍为实数，而虚数的运算则引入了复数的概念。具体而言，虚数i的幂次运算及对数运算有特定的数学表达式，例如i的余弦值为cosh(1)，等于(1+1/e)/2。

综上所述，实数与虚数在定义、分类和数学性质上存在显著差异。实数主要用于描述连续的物理量，而虚数则在复数理论中扮演关键角色，两者共同构成了数学体系的基础。