证法1 先做图,做出过B, C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,所以M,N是AC,AB的中点.连接MN 设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数) 向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, 向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM 所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN 即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量 因为向量PM与向量PN不共线,所以λ=2,μ=2 所以向量BP=2向量PM 由此证得两中线交点把BM分成2:1.同理可证另一条中线与BM的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2 得证. 证法2 作出一个三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c 则向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a). 再设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD， 则向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) 同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因此三条中线交于点P。 三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2