要解一元四次不定式方程 $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = b^2$ 的正整数解，首先我们可以尝试逐个尝试一些正整数的值来验证是否满足等式。

通过尝试，我们可以发现当 $a=3$ 时，等式成立，即 $3^4 + 3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 121$。

因此，$(a, b) = (3, 11)$ 是满足等式的一个正整数解。

另外，根据不定式方程的性质，这个方程可能还存在其他正整数解，但要找到所有解的方法比较复杂。如果你需要找到方程的其他正整数解，可能需要使用数值计算或其他数学方法来进一步分析和求解。