在平面直角坐标系中，我们面对两条平行直线：4x + 3y + 1 = 0 和 4x + 3y + 6 = 0。这两条直线之间的距离 d 可以通过公式计算得出，即 d = |1 - 6| / √(4² + 3²) = 1。这意味着两条平行线之间的距离为1。

现在，我们要求出与这两条平行线成45°角的直线方程。已知所求直线被两平行直线截得的线段长为√2，这意味着所求直线与两平行线的夹角为45°。

设所求直线的斜率为k，根据两直线夹角与斜率的关系，我们有：[k - (-4/3)] / [1 + k (-4/3)] = tan(45°)。将tan(45°)的值代入，解得：k₁ = 7，k₂ = -1/7。

根据点斜式方程，我们可以得到所求直线的方程。假设所求直线过点(1, 2)，则直线方程为：y - 2 = 7*(x - 1) 或 y - 2 = -1/7*(x - 1)。简化后得到：7x - y - 5 = 0 或 x + 7y - 15 = 0。