1、证明：用常微分方程来证

∵f'(x)=f(x),即df(x)/dx=f(x)

∴df(x)/f(x)=dx

∴两边积分,得：ln[f(x)]=x+C

∴两边同取底数为e的自然对数,得：f(x)=e^x+C(C为任意常数)

把f(0)=1代入上式,解得：C=0

∴f(x)=e^x

2、证明：用中值定理

首先令F(x)=e^(-x)f(x),则F'(x)=-e^(-x)*f(x)+e^(-x)*f(x)=0

所以,F(x)≡c(c为常数),取x=0,可以得出c=F(0)=e^0*f(0),

又因为题目中给出f(0)=1,所以有c=F(0)=e^0*f(0)=1,也即e^(-x)*f(x)=1,所以得证f(x)=e^x.