两个偏导数连续，则它们的混合偏导数相等，这是定理。但要注意混合偏导数相等，两个偏导数不一定连续，所以第一句话只能说是混合偏导数相等的充分不必要条件。

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二阶混合偏导数是u=abcxyz∂u/∂x=abcyz∂u/∂y=abcxz∂u/∂z=abcxy，对于一个多项式函数来说，指的就是xy项的系数。

对于一般的光滑函数来说，指的是其二阶逼近中xy项的系数。

一定程度上（在二阶逼近意义上）指的是这个函数可以表示成：f(x,y)=g(x)+h(y)这种形式的障碍。如果一个函数可以表达成这种形式那么混合偏导数一定是0。

几何上可以看成是y方向变化率在x方向的变化率，他同时也等于x方向的变化率在y方向的变化率。

在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。

偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。