求平面曲线的弧长，当曲线弧由极坐标方程时，为什么会出现r'
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2024-12-28
x=rcos y=rsindx=(r'cos-rsin)d dy=(r'sin+rcos)dds=√ [(r'^2cos^2+r^2sin^2-2sincos)+(r'^2sin^2+r^2cos^2+2sincos)]d =√ [(r'^2cos^2+r'^2sin^2)+(r^2sin^2+r^2cos^2)+(2sincos-2sincos)]d =√ (r'^2+r^2)d =√ (r^2+r'^2)d
x=rcosθ y=rsinθ
dx=(r'cosθ-rsinθ)dθ dy=(r'sinθ+rcosθ)dθ
ds=√ [(r'^2cos^2θ+r^2sin^2θ-2sinθcosθ)+(r'^2sin^2θ+r^2cos^2θ+2sinθcosθ)]dθ
=√ [(r'^2cos^2θ+r'^2sin^2θ)+(r^2sin^2θ+r^2cos^2θ)+(2sinθcosθ-2sinθcosθ)]dθ
=√ (r'^2+r^2)dθ
=√ (r^2+r'^2)dθ
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