在探讨特征值和特征向量前，我们先回顾一下矩阵乘法Ax = b的含义。这里的Ax = b表示了向量b在矩阵A的变换下所处的位置。以二维矩阵为例，向量[公式]可以看作坐标系中的点，而Ax = b中的x则表示的是向量[公式]在标准坐标系中的线性组合系数。这里的A的column向量则可以被视为坐标轴，例如[公式]可以看作x轴，[公式]看作y轴，[公式]则代表了一个在二维平面上的点，其坐标为[公式]。

现在，我们来深入理解特征值和特征向量。特征值与特征向量定义为存在某个标量λ，使得矩阵A作用于特定向量v后，该向量仅在长度上被放大或缩小，而方向保持不变，即Av = λv。这种情况下，λ称为特征值，v称为特征向量。这表示在特定的坐标系下，向量v在矩阵A的作用下，其方向不会改变，仅是大小发生了变化。

以矩阵投影和回归为例，投影矩阵J将向量b投影到向量空间A中。如果b在A的向量空间内部，那么Jb = b，此时J的特征向量为b，特征值为1。如果b与A的向量空间垂直，Jb = 0*b，此时J的特征向量为b，特征值为0，这种情况较为特殊，我们通常不考虑。

对于特定的矩阵A，如何系统地找到其特征值和特征向量呢？我们可以使用特征方程来解决这个问题。特征方程定义为|A - λI| = 0，其中I为单位矩阵。通过求解这个方程，我们就能找到矩阵A的特征值。一旦特征值确定，我们再通过解线性方程组(A - λI)v = 0，就能找到对应的特征向量。

让我们以矩阵A为例，求解其特征值和特征向量。首先，构造特征方程|A - λI| = 0，并解方程以找到特征值λ。接着，将每个特征值代入(A - λI)v = 0，解线性方程组以找到对应的特征向量v。以一个具体的矩阵为例，我们求得特征值为2, 4，对应的特征向量为[公式] 和[公式]。然而，我们注意到，在旋转矩阵R的情况下，它没有特征值和特征向量。这是因为旋转矩阵R将向量旋转了一个角度，没有保持方向不变，因此不满足特征向量的定义。在旋转矩阵R的情况下，特征方程的解为复数，这表明特征向量在复数域内定义，但这并不符合我们对特征向量的传统理解。