收敛半径在复分析中起着关键作用，它定义了幂级数在复平面上的扩展区域。根据达朗贝尔审敛法，当幂级数满足特定条件时，其收敛半径R与参数ρ密切相关：若ρ为正实数，半径为1/ρ；ρ为0，半径扩展至无穷；而当ρ无穷大时，半径变为0。通过根值审敛法则，我们可以运用柯西-阿达马公式确定收敛圆，即以中心a为中心、半径为R的区域，函数在此区域内可被幂级数形式定义，超出此范围则可能存在奇点。

例如，函数如正切函数，其泰勒级数在0处的收敛半径为1，对应于实数域内的奇点位置。对于难以直接计算的幂级数，如包含伯努利数的展开，通过复数域的分析，可以找到最近的奇点位置，从而确定收敛半径。例如，某个幂级数在z=0附近可展，其收敛半径为2π，意味着该级数在以原点为中心、半径2π的圆周上发散，但可能在圆上点对点收敛，而非绝对收敛。

函数如(1 - z)的幂级数在z=0的收敛半径为1，其在收敛圆上表现为发散。而某个特定函数的级数，如h(z) = (g(z)/z)',其对应的幂级数收敛半径为1，但在收敛圆上一致收敛而非绝对收敛，这体现了收敛半径在复杂函数分析中的重要性。