泰勒公式是数学中用来描述函数在某点附近取值的公式。它基于函数在某一点的各阶导数值，构建多项式近似函数在该点邻域内的值。泰勒公式可以精确给出多项式与实际函数值之间的偏差。此公式以英国数学家布鲁克·泰勒命名，他于1712年首次提出。然而，早在1671年，詹姆斯·格雷高里就发现了它的特例。

在实际应用中，我们通常无法使用无限多项式的精确泰勒级数。因此，必须截断级数，只保留有限项。这一有限项的泰勒级数称为泰勒展开式。通过调整展开式的项数，我们可以在一定程度上控制近似误差。

泰勒公式的余项能够帮助我们估算近似误差。通过计算余项的大小，我们可以评估泰勒展开式与原始函数值之间的差异。这个过程对于研究函数性质、进行数值计算以及在工程、物理等领域的应用至关重要。泰勒公式在数学分析、数值方法和科学计算中具有广泛的应用价值。