证明：假设实对称阵A是正定阵，

则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的。

这表明，存在一个正交阵P，使得

A=P'diag(a1,a2,..,an)P

我们定义Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P，则

A=Q'Q，即A与单位阵合同。

反之，若A与单位阵合同，即存在可逆阵S，使得

A=S'S

我们设S=diag(√a1,√a2,...,√an)P，则

A=diag(√a1,√a2,...,√an)P'Pdiag(√a1,√a2,...,√an)P

由于P是正交阵，因此P'P=I，从而

A=diag(a1,a2,..,an)P

因此，A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的，即A是正定阵。

综上所述，实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是与单位阵合同。

进一步分析表明，上述证明过程展示了正定矩阵与合同关系之间的紧密联系。

通过这样的证明，我们不仅能够理解正定矩阵的重要性质，还能够深入探讨合同矩阵的概念及其在代数中的应用。

实对称矩阵的正定性与合同关系的这一关系，在线性代数和矩阵理论中具有重要意义。

这种联系不仅有助于我们更好地掌握矩阵的性质，还为解决实际问题提供了理论基础。

在许多应用领域，如优化理论、数值分析和工程计算中，正定矩阵与合同矩阵的关系尤为重要。

因此，深入理解这一关系，对于提升我们对矩阵理论的认知水平至关重要。

通过上述分析，我们可以看到实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是与单位阵合同，这为我们提供了更加深刻的理论依据。

这一结论不仅在理论上具有重要意义，也为实际应用提供了有力支持。