谱分解定理指出，对于实对称矩阵A，存在一个正交矩阵P，使得D=P^{-1}AP成为对角阵。这里强调的是，D是对角阵，意味着矩阵A具有完备的特征值，且特征值对应着对角线元素。正交矩阵P的特性是满足P^TP=PP^T=I，其中I为单位矩阵，这样就确保了变换的可逆性。

因此，实对称矩阵A通过正交矩阵P的变换，可以表示为合同变换的形式，即A=P^TAP。这里P^T代表P的转置，而合同变换要求变换矩阵P必须为正交矩阵，其性质确保变换后的矩阵保持了原有的几何性质和线性关系。

需要指出的是，对于实对称矩阵A与B，如果它们能够通过相同的正交矩阵P进行合同变换，即A=P^TBP，那么我们可以说A与B是合同的。这表明实对称矩阵的合同关系与相似关系是等价的。这意味着如果两个实对称矩阵能够通过相似变换相互转换，那么它们实际上也通过合同变换相互转换。

例如，假设A和B都是实对称矩阵，且存在正交矩阵P，使得A=P^TBP。这意味着A与B在几何上具有相同的特征值和特征向量，并且其特征值的排列顺序相同。进一步地，矩阵A和B的正交相似变换与合同变换之间的关系揭示了它们在几何结构上的等价性。

举例来说，当A=B=单位矩阵I时，即使P选择为非对称的可逆矩阵，A与B仍然保持合同关系。这是因为单位矩阵I的特征值为1，且具有完备的特征向量空间，任何可逆矩阵P都会将I保持不变，从而保持了A与B在合同变换下的等价性。