变上限重积分求导
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2024-12-28
令x-t=u，则dt=-du，故∫(0到x)f(x-t)dt=-∫(x到0)f(u)du=∫(0到x)f(u)du，于是x∫(0到x)f(x-t)dt=x∫(0到x)f(u)du，所以d[x∫(0到x)f(x-t)dt]/dx=d[x∫(0到x)f(u)du]/dx=x*d[∫(0到x)f(u)du]/dx+dx/dx*∫(0到x)f(u)du注意在这里，变上限积分函数∫(0到x)f(u)du对x求导的话，
令x-t=u，
则dt=
-du，
故∫(0到x)f(x-t)dt
=
-∫(x到0)f(u)du
=∫(0到x)f(u)du，
于是
x∫(0到x)f(x-t)dt
=
x
∫(0到x)f(u)du，
所以
d
[x∫(0到x)f(x-t)dt]
/dx
=
d
[
x
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
=
x
*
d
[
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
+
dx/dx
*
∫(0到x)f(u)du
注意在这里，变上限积分函数∫(0到x)f(u)du
对x求导的话，
求得的导数就是f(x)而不是f(u)，
因此，
d
[x∫(0到x)f(x-t)dt]
/dx
=x
*
d
[
∫(0到x)f(u)du
]
/
dx
+
dx/dx
*
∫(0到x)f(u)du
=x
*
f(x)
+
∫(0到x)f(u)du
不是xf(u)可不可以直接换成xf(x)的问题，
而是对其求导得到的就是xf(x)
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