8. (1) 旋转曲面 ∑：z=x^2+y^2.

记 F = x^2+y^2-z, F'=2x, F'=2y, F'=-1,

得法向量是 {2x， 2y， -1}， 单位法向量为

{2x/√(1+4x^2+4y^2)， 2y√(1+4x^2+4y^2)， -1√(1+4x^2+4y^2)}。

（2）补充平面 ∑1：z=2，x^2+y^2≤2 部分，取上侧. 则

I = ∫∫ = ∫∫ - ∫∫,

前者用高斯公式，后者 z=2， dz=0，得

I = ∫∫∫ [8(y-1)+8y+1]dxdydz -∫∫2(8y+1)dxdy

= ∫dt ∫(16rsint-7)rdr ∫dz

- ∫dt ∫(16rsint+2)rdr

= ∫dt ∫(16rsint-7)r(1-r^2)dr

- ∫dt ∫(16rsint+2)rdr

= ∫dt ∫[16(r^2-r^4)sint-7(r-r^3)]dr

- ∫dt ∫(16r^2sint+2r)dr

=∫(-32√2/15)sintdt - ∫[(32√2/3)sint+2]dt

= ∫[(-2√2/5)sint-2]dt

= [(2√2/5)cost-2t] = -4π