[公式]

计算：

[公式]

[公式]

or [公式]

[公式]

[公式]

计算：

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

计算： [公式] [公式]

or

[公式]

[公式]

[公式]

其中[公式],[公式],[公式]

[公式]

计算： [公式] [公式]其中，S的方向是上侧取正，下侧取负

[公式]

1.两类曲线积分之间的关系

[公式]

2.两类曲面积分之间的关系

[公式]

3.曲线积分与曲面积分之间的关系

格林公式 条件：1.区域D封闭或者曲线L闭合。2.P,Q在区域内连续，即可导且一阶偏导连续。3.有方向

[公式]

曲线积分和路径无关

设D是单连通区域。若函数P，Q在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

Gauss公式 条件：同格林公式

[公式]

6.例题

例1：[公式]方向为逆时针方向，求[公式] 解： 技巧：曲线、曲面积分可以把曲线、曲面带到被积函数中化简，但是重积分不可以） [公式] [公式],根据格林公式，原式[公式][公式][公式] 注意：本题不能直接使用格林公式，因为不满足P,Q在区域内连续，即可导且一阶偏导连续。

例2：[公式]，求[公式]

例3：

[公式]

计算[公式]

解：[公式] 此时求半径，[公式] 因此，[公式]

例4：[公式] 其中[公式]由[公式]至[公式]过上半圆[公式]的道路。 提示： 补直线[公式],再利用格林公式。

例5：[公式],[公式] 提示：[公式] [公式] [公式] [公式]， 随后利用极坐标替换，注意不可以直接把[公式]带入，这是错误的。 [公式]

例6：[公式] [公式]介于[公式]和[公式]之间部分的下侧 提示： 补面[公式]方向取上侧

[公式]

[公式] [公式]其中的[公式]

例7：

[公式]