设a1,a2,...,as

是某向量组中的一个线性无关部分组

扩充步骤如下:

任取向量组中一个向量β

考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示

(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示

则放弃此向量

(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示

则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β

这个部分组为什么线性无关:

设

k1a1k2a2+...+ksas+kβ

=

0

由于

β不能由a1,a2,...,as线性表示,

所以有

k

=0

所以

k1a1k2a2+...+ksas

=

0.

再由

a1,a2,...,as

线性无关,

k1=k2=...=ks=0

故

a1,a2,...,as,β

线性无关.

如此进行下去,

遍历整个原向量组,

得一扩充的部分组:

a1,a2,...,ar

满足:

1)

线性无关

2)

原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示

故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.