傅里叶级数是一种特殊的三角级数，最早由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。这种级数的提出极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德是最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数的数学家之一。他首先证明了多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。

傅里叶级数在数学物理以及工程中有着广泛的应用。其基本公式为：给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi})t}。其中，a_k可以根据公式a_k=\frac\int_x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi})t}计算得出。值得注意的是，f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi})t}是一个周期为T的函数，当k取不同值时，这些周期信号具有谐波关系，即它们共享一个共同周期T。

傅里叶级数的收敛性遵循狄利赫里条件：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象描述了在x(t)的不可导点上，仅使用(1)式右边无穷级数中的有限项作和X(t)，会在这些点上出现起伏。例如，方波信号就展示了这种现象。

三角函数族的正交性是指两个不同向量的内积为0，这意味着两者之间没有任何相关性。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，可以张成一个n维空间。三角函数族的正交性可用公式表示：\int _^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0; \int _^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n) \int _^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n) \int _^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi; \int _^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi。

奇函数f_o(x)可以用正弦级数表示，而偶函数f_e(x)则可以用余弦级数表示：f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx); f_e(x) = \frac+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx)。利用欧拉公式e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta，可以从傅里叶级数的公式中导出这些公式。

广义傅里叶级数是指任何正交函数系\{ \phi(x)\}，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：\int _^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^_ (4)，那么级数 \sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x) (5) 必然收敛于f(x)，其中: c_n=\int _^f(x)\phi_n(x)\,dx (6)。贝塞尔不等式表明，无论（5）时是否收敛，总有\int _^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^_ 成立。