拐点与极值点在数学函数分析中是两个关键概念，它们在描述函数特性上扮演着不同角色。

极值点的判定关键在于一阶导数为0，此点意味着函数在该点上可能达到最大值或最小值，且一阶导数表示函数增减性。与此不同，拐点的特征是二阶导数为0，这表示函数在该点的凹凸性发生变化，即函数的曲率在拐点处发生转折。

在分析函数时，若该点存在一阶、二阶、三阶导数，且满足一阶导数为0而二阶导数不为0，那么该点为极值点；若二阶导数为0且三阶导数不为0，则该点为拐点。例如，函数y=x^4在x=0处具有极值点特性，但不是拐点。如果该点不存在导数，需要通过实际判断来确定，如函数y=|x|在x=0时导数不存在，但x=0是该函数的极小值点。

极值点与拐点的定义紧密相连，但它们的性质和出现条件有所不同。极值点主要与函数的局部最大值和最小值有关，出现在导数为0的点或不可导点处，而拐点则与函数曲率的变化有关，出现在二阶导数为0且曲率变化的点。

在数学分析领域，极值点和拐点是研究函数性质和行为的重要工具，用于理解函数的局部和全局特性。例如，皮埃尔·费马特是最早探索函数极值的数学家之一，他的工作为现代微积分学奠定了基础。

拐点是曲线在特定点处方向改变的标志，直观上表示曲线从凸形变为凹形或反之。若在拐点存在二阶导数，该导数在拐点处的符号会改变（由正变负或由负变正），或者二阶导数不存在，这表明曲线在该点处具有拐点特征。