对e^(-x)f(x)与e^(-x)分别在[a,b]上使用拉格朗日中值定理。

证明过程：

函数e^(-x)f(x)与e^(-x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ,η∈(a,b)，使得

e^(-b)-e^(-a)=-e^(-ξ)(b-a)。

e^(-b)f(b)-e^(-a)f(a)=e^(-η)(f'(η)-f(η))(b-a)，即e^(-b)-e^(-a)=e^(-η)(f'(η)-f(η))(b-a)。

两个式子相除得，e^(-η)(f'(η)-f(η))=-e^(-ξ)，此即f(η)-f'(η)=e^(η-ξ)。