F(x)为随机变量X的分布函数，其充分必要条件为 (1)F(x)是一个不减函数

对于任意实数 (2）

从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即 )，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有 ;又若将点x无限右移（即 )，则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1，即有 (3) ;

证明：因为 F（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限F（x0+0）必存在。

为证明右连续，由海涅定理，只要对单调下降的数列 当 时,

证明 成立即可。 因为 ：

所以得， （1）设有函数，试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数。

注意到函数F(x)在 上下降，

不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.

（2）设柯西分布函数F(X)=1/2+1/π*arctanx,-∞<x<+∞

它在整个数轴上是连续、单调严格递增的函数。且：

所以此函数满足分布函数的三条基本性质，故F（x）是随机变量X的一个分布函数。