在直角坐标系中，对于平面曲线的切线，当曲线方程为显式形式，即以 y = f(x) 表示时，其切线方程可通过求导得到斜率，进而写出切线方程。对于隐式方程，通过局部显式化或使用隐式导数求解切线。切线的法线、次切矩、次法矩以及切线长和法线长的计算方法同样适用。在参变量形式下，切线斜率由导数决定，切线方程则需通过参变量表示。详细计算步骤见文中阐述。

对于应用举例，如抛物线、椭圆和双曲线，通过求导获得切线方程，并利用几何性质简化作图方法。星型线的切线性质揭示其几何结构，而旋轮线的切线和法线在运动学和几何关系中具有一致性。圆外旋轮线的参数方程和切线性质分析，以及圆的渐开线的切线平行于特定直线且法线特性。极坐标系下的切线和法线概念与直角坐标系下的对应，如极切矩、极法矩，通过极坐标表示曲线，进而求得切线和法线。

空间曲线和曲面的切线与切面的定义与平面曲线相似，但考虑了三维空间中的几何关系。空间曲线的切线通过在某点附近微分获得，且在奇异点处切线问题未解。空间曲面的切面由在某点处的法向量确定，通过隐式或参数形式给出方程。空间曲面交线的切线问题在特定条件下可求解。

在平面曲线中讨论了奇异点的性质，通过函数的导数与二阶偏导数来分类，分为极值点、二阶导数不为零的点等类型。具体分析了奇异点的几种主要类型，如极值点和多项式多项式的根点。

以上内容概述了空间曲线和曲面的切线与切面理论，以及平面曲线的切线性质、奇异点分析等。通过几何、代数和微积分的方法，我们能够理解曲线和曲面在不同坐标系下的性质，以及它们在数学和实际应用中的重要性。