概率的五个基本运算公式如下：

1. 加法定理：

该定理用于计算两个互斥事件（即不可能同时发生的事件）的概率之和。公式为：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)，其中 P(A ∩ B) 是事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

2. 乘法定理：

乘法定理适用于计算两个独立事件同时发生的概率。公式为：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)，其中 P(A) 是事件 A 发生的概率，P(B) 是事件 B 发生的概率。

3. 全概率公式：

全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，该事件可以通过多个互斥事件之一发生。公式为：P(B) = Σ P(Ai) × P(B|Ai)，其中 Ai 是互斥事件，P(Ai) 是事件 Ai 发生的概率，P(B|Ai) 是事件 B 在事件 Ai 发生的条件下发生的概率。

4. 贝叶斯公式：

贝叶斯公式用于根据观察结果更新事件发生的概率。公式为：P(Aj|B) = (B|Aj) × P(Aj) / Σ(i=1→n) P(B|Ai) × P(Ai)，其中 Aj 是特定的事件，P(Aj) 是事件 Aj 发生的先验概率，P(B|Aj) 是事件 B 在事件 Aj 发生的条件下发生的后验概率。

5. 期望值公式：

期望值公式用于计算随机变量的平均值。公式为：E(X) = Σ Xi × P(Xi)，其中 Xi 是随机变量 X 的可能取值，P(Xi) 是随机变量 X 取值为 Xi 的概率。

掌握这五个基本公式是理解和应用概率论的关键，它们是解决各种概率问题的基础工具。