泰勒公式与泰勒级数是数学分析中用于近似计算和解析函数的重要工具，它们在解决实际问题时发挥着关键作用。

泰勒公式允许我们将一个函数在某一点的近似表达为一系列基于该点的导数的组合。例如，一个在某点可导的函数可以用其导数值来近似表示。具体的公式形式为：

\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n\]

其中 \(R_n\) 表示未被包含的高阶导数项的误差。佩亚诺余项是其中一种形式，它提供了对误差估计的方法。

泰勒级数是将函数展开成无限多项的幂级数形式，它通过将函数在某点的导数依次相加并乘以相应阶数的 \(x-a\) 的幂，从而生成一个幂级数。这个级数的通用形式为：

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]

需要注意的是，泰勒级数可能在某些情况下发散，即使对于收敛的级数，其和函数也可能与原函数不完全一致。

举个例子，考虑函数 \(f(x) = e^x\) 在 \(x=0\) 处的泰勒级数展开：

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]

这个级数在任何 \(x\) 值上都收敛，并且其和函数 \(e^x\) 确实等于原函数。

解析函数则是在某点的某邻域内，其泰勒级数的和函数与原函数完全一致的函数。解析函数具有比光滑函数更高的性质，这意味着它们在定义域内可以进行无穷次的导数。

最后，泰勒公式与泰勒级数之间的联系体现在：当一个函数在某点光滑，且满足对所有 \(n\) 阶导数的 \(n\) 次方项在某区间内一致收敛于原函数时，泰勒级数的和函数与原函数相同。

综上所述，泰勒公式与泰勒级数是数学分析中不可或缺的工具，它们不仅帮助我们近似计算函数值，还为深入理解函数的性质提供了理论基础。