矩阵对角化的核心理念源自于线性变换的简化过程，它涉及到矩阵与线性变换之间的紧密联系。首先，理解线性变换和其矩阵表示至关重要，但即使对此不太熟悉，接下来的内容依然可以理解。假设我们有一个阶数为n的线性变换a，它在基m下的矩阵表示为A，而在基n下的矩阵为B，此时需要一个满秩矩阵X作为过渡，其关系可以用公式表示为B等于X转置AX（X转置即X的T表示，X的秩要足够高）。这个关系定义了两个矩阵A和B之间的相似性：如果存在可逆矩阵X，使得B等于X的转置与A的乘积，那么我们称A和B是相似的，这是一种矩阵间的等价关系。

当进一步讨论矩阵对角化时，如果存在这样一个可逆矩阵X，使得A与一个对角矩阵B相似，那么我们说A是可以对角化的。换句话说，如果线性变换a在基m下的矩阵A可以通过相似变换化为对角矩阵B，那么我们可以通过找到适当的过度矩阵X，将变换a在基n下的矩阵转换为对角形式，从而实现了化简过程。